Question

在平面直接坐標系xOy中，O為坐標原點，以O為圓心的圓與直線x-

3

y-4=0相切．
（Ⅰ）求圓O的方程；
（Ⅱ）若直線l：y=kx+3與圓C交于A，B兩點，在圓C上是否存在一點M，使得

OM

=

OA

+

OB

，若存在，求出此時直線l的斜率；若不存在，說明理由．

Answer 1

考點：圓的標準方程,直線與圓的位置關系

專題：平面向量及應用,直線與圓

分析：（Ⅰ）由直線x-

3

y-4=0與圓O相切，圓心到直線的距離d等于半徑r，求出半徑，得圓的方程；
（Ⅱ）在圓O上存在一點M，使得

OM

=

OA

+

OB

，理由為：
法1：求出直線l：y=kx+3與圓O相交于A，B兩點，且滿足

OM

=

OA

+

OB

時，k的值是否存在即可；
法2：求出OM與AB的交點C（x₀，y₀），由中點公式得出點M的坐標，把M的坐標代入圓方程，求出直線的斜率k即可．

解答： 解：（Ⅰ）設圓O的半徑為r，圓心為（0，0），
∵直線x-

3

y-4=0與圓O相切，
∴d=r=

|1×0- 3 ×0-4|

12+( 3 )2

=2，…（3分）
∴圓O的方程為x²+y²=4；…（5分）
（Ⅱ）在圓O上存在一點M，使得

OM

=

OA

+

OB

，理由為：
法1：∵直線l：y=kx+3與圓O相交于A，B兩點，
∴圓心O到直線l的距離d=

3

1+k2

＜r=2，
解得：k＞

5

2

或k＜-

5

2

，…（7分）
假設存在點M，使得

OM

=

OA

+

OB

，∴四邊形OAMB為菱形，…（8分）
∴OM與AB互相垂直且平分，…（9分）
∴圓心O到直線l：y=kx+3的距離d=

1

2

|OM|=1，…（10分）
即d=

3

1+k2

=1，整理得：k²=8，…（11分）
解得：k=±2

2

，經(jīng)驗證滿足條件，…（12分）
則存在點M，使得

OM

=

OA

+

OB

；…（13分）
法2：記OM與AB交于點C（x₀，y₀），
∵直線l斜率為k，顯然k≠0，
∴OM直線方程為y=-

1

k

x，…（7分）
將直線l與直線OM聯(lián)立得

y=kx+3 y=- 1 k x

，
解得

x0= -3k k2+1 y0= 3 k2+1

；
∴點M坐標為（

-6k

k2+1

，

6

k2+1

），…（9分）
又點M在圓上，將M坐標代入圓方程得：(

-6k

k2+1

)2+(

6

k2+1

)2=4，
解得：k²=8，…（11分）
∴k=±2

2

，經(jīng)驗證滿足條件，…（12分）
則存在點M，使得

OM

=

OA

+

OB

．…（13分）

點評：本題考查了直線與圓的應用問題，解題時應靈活應用直線與圓的位置關系，利用向量進行轉(zhuǎn)化問題，是綜合性題目．