Question

已知函數f（x）=

3

sin²x+sinxcosx
（Ⅰ）求函數f（x）在區(qū)間[

π

2

，π]上的零點；
（Ⅱ）設g（x）=f（x）-

3

2

，求函數g（x）的圖象的對稱軸方程和對稱中心．

Answer 1

考點：三角函數中的恒等變換應用,正弦函數的圖象

專題：三角函數的圖像與性質

分析：（Ⅰ）利用二倍角公式和兩角和公式化簡，令f（x）=0，求得x，則函數在區(qū)間上的零點可得．
（Ⅱ）求得g（x）的解析式，利用正弦函數圖象與性質求得函數的對稱軸方程和對稱中心．

解答： 解：（Ⅰ）f（x）=

3

2

-

3

2

cos2x+

1

2

sin2x=sin（2x-

π

3

）+

3

2

，
令f（x）=sin（2x-

π

3

）+

3

2

=0，求得sin（2x-

π

3

）=-

3

2

，
∴x=kπ或x=kπ-

π

6

，k∈Z，
∵x∈[

π

2

，π]，
∴x=π或

5π

6

．當x=π時，
∴函數的在區(qū)間上的零點為（π，0），（

5π

6

，0）
（Ⅱ）g（x）=sin（2x-

π

3

），
令2x-

π

3

=kπ+

π

2

，x=

kπ

2

+

5π

12

，k∈Z，
故函數的對稱軸方程為x=

kπ

2

+

5π

12

，k∈Z，
令2x-

π

3

=kπ，x=

kπ

2

+

π

6

，k∈Z，
∴函數的對稱中心為（

kπ

2

+

π

6

，0）（k∈Z）．

點評：本題主要考查了三角函數恒等變換的應用，三角函數圖象與性質．要求學生對三角函數的對稱方程，對稱中心，單調性，最值能全面掌握．