Question

利用自然對數(shù)的底數(shù)e（e=2.71828…）構(gòu)建三個基本初等函數(shù)y=ex，y=lnx，y=

e

x

(x＞0)．探究發(fā)現(xiàn)，它們具有以下結(jié)論：三個函數(shù)的圖象形成的圖形（如圖）具有“對稱美”；圖形中陰影區(qū)A的面積為1等．M，N是函數(shù)圖象的交點．
（Ⅰ）根據(jù)圖形回答下列問題：
①寫出圖形的一條對稱軸方程；
②說出陰影區(qū)B的面積；
③寫出M，N的坐標．
（Ⅱ）設(shè)f(x)=ex-lnx+

e

x

，證明：對任意的正實數(shù)x₁，x₂，都有

f(x1)+f(x2)

2

≥f(

x1+x2

2

)．

Answer 1

考點：指數(shù)函數(shù)綜合題

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應用

分析：（Ⅰ）數(shù)形結(jié)合可得①三個函數(shù)的圖象形成的圖形的一條對稱軸方程，再根據(jù)②陰影區(qū)A、B關(guān)于直線y=x對稱，求得陰影區(qū)B的面積．以及③M、N的坐標．
（Ⅱ）先化簡不等式的兩邊，再用作差比較法證得不等式成立．

解答： 解：（Ⅰ）∵y=

e

x

（x＞0）的圖象是反比例函數(shù)y=

e

x

（x≠0）的圖象位于第一象限內(nèi)的一支，
∴y=

e

x

（x＞0）的圖象關(guān)于直線y=x對稱．
又y=e^x，y=lnx=log_ex互為反函數(shù)，它們的圖象關(guān)于直線y=x互相對稱，從而可知：
①三個函數(shù)的圖象形成的圖形的一條對稱軸方程為y=x．
②陰影區(qū)A、B關(guān)于直線y=x對稱，故陰影區(qū)B的面積為1．
③M（1，e），N（e，1）．（6分）
（Ⅱ）由于

f(x1)+f(x2)

2

=

ex1+ e x1 -lnx1+ex2+ e x2 -lnx2

2

=

ex1+ex2+ e x1 + e x2 -ln(x1x2)

2

，f(

x1+x2

2

)=e

x1+x2

2

+

e

x1+x2 2

-ln

x1+x2

2

=e

x1+x2

2

+

2e

x1+x2

-ln

x1+x2

2

，

f(x1)+f(x2)

2

-f(

x1+x2

2

)=

ex1+ex2+ e x1 + e x2 -ln(x1x2)

2

-e

x1+x2

2

-

2e

x1+x2

+ln

x1+x2

2

=

ex1+ex2

2

-e

x1+x2

2

+

e x1 + e x2

2

-

2e

x1+x2

+ln

x1+x2

2

-

ln(x1x2)

2

 
=

ex1+ex2-2 ex1+x2

2

+

(x1+x2)e

2x1x2

-

2e

x1+x2

+ln

x1+x2

2

-ln

x1x2

=

ex1+ex2-2 ex1•ex2

2

+

(x1+x2)2-4x1x2

2x1x2(x1+x2)

•e+ln

x1+x2

2

-ln

x1x2

 
=

( ex1 - ex2 )2

2

+

(x1-x2)2

2x1x2(x1+x2)

•e+ln

x1+x2

2

-ln

x1x2

．（*）
∵

x1+x2

2

-

x1x2

=

( x1 - x2 )2

2

≥0，
∴ln

x1+x2

2

≥ln

x1x2

，即ln

x1+x2

2

-ln

x1x2

≥0．
從而可知（*）≥0，即

f(x1)+f(x2)

2

≥f(

x1+x2

2

)對任意的正實數(shù)x₁，x₂都成立．

點評：本題主要考查指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)應用，用比較法證明不等式，屬于中檔題．