Question

9．如圖，四棱錐S-ABCD的底面是邊長為1的菱形，其中∠DAB=60°，SD垂直于底
面ABCD，$SB=\sqrt{3}$；
（1）求四棱錐S-ABCD的體積；
（2）設(shè)棱SA的中點(diǎn)為M，求異面直線DM與SB所成角的大小．

Answer 1

分析 （1）求出BD=1，AC=$\sqrt{3}$，SD=$\sqrt{2}$，由此能求出四棱錐S-ABCD的體積．
（2）取BC中點(diǎn)E，以D為原點(diǎn)，DA為x軸，DE為y軸，DS為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出異面直線DM與SB所成角．

解答 解：（1）∵四棱錐S-ABCD的底面是邊長為1的菱形，其中∠DAB=60°，
SD垂直于底面ABCD，$SB=\sqrt{3}$，
∴BD=1，AC=$\sqrt{1+1-2×1×1×cos120°}$=$\sqrt{3}$，
SD=$\sqrt{{SB}^{2}-B{D}^{2}}$=$\sqrt{3-1}=\sqrt{2}$，
S_菱形ABCD=$\frac{1}{2}×AC×BD$=$\frac{1}{2}×1×\sqrt{3}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴四棱錐S-ABCD的體積V=$\frac{1}{3}×{S}_{菱形ABCD}×SD$=$\frac{1}{3}×\frac{\sqrt{3}}{2}×\sqrt{2}$=$\frac{{\sqrt{6}}}{6}$．
（2）取BC中點(diǎn)E，以D為原點(diǎn)，DA為x軸，DE為y軸，DS為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，
A（1，0，0），S（0，0，$\sqrt{2}$），M（$\frac{1}{2}，0，\frac{\sqrt{2}}{2}$），B（$\frac{1}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$，0），
$\overrightarrow{DM}$=（$\frac{1}{2}，0，\frac{\sqrt{2}}{2}$），$\overrightarrow{SB}$=（$\frac{1}{2}，\frac{\sqrt{3}}{2}$，-$\sqrt{2}$），
設(shè)異面直線DM與SB所成角為θ，
則cosθ=$\frac{|\overrightarrow{DM}•\overrightarrow{SB}|}{|\overrightarrow{DM}|•|\overrightarrow{SB}|}$=$\frac{\frac{3}{4}}{\sqrt{\frac{3}{4}}•\sqrt{3}}$=$\frac{1}{2}$，
$θ=\frac{π}{3}$，
∴異面直線DM與SB所成角為$\frac{π}{3}$．

點(diǎn)評 本題考查四棱錐的體積的求法，考查異面直線所成角的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．