已知函數(shù)f(x)=x2-ax+2,g(x)=ax+2
(1)若關(guān)于x的方程f(x)=g(x)在(1,2)內(nèi)恰有一解,求a的取值范圍;
(2)設(shè)h(x)=
f(x),f(x)≥g(x)
g(x),f(x)<g(x)
,求h(x)的最小值;
(3)定義:已知函數(shù)T(x)在[m,n](m<n)上的最小值為t,若t≤m恒成立,則稱函數(shù)T(x)在[m,n](m<n)上具有“DK”性質(zhì).如果f(x)在[a,a+1]上具有“DK”性質(zhì),求a的取值范圍.
考點:二次函數(shù)的性質(zhì)
專題:函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用
分析:(1)由題意可得函數(shù)M(x)=f(x)-g(x)=x2-2ax 在(1,2)內(nèi)恰有一個零點,故有M(1)M(2)=(1-2a)(4-4a)<0,由此求得a的范圍.
(2)①當a>0時,h(x)=
x2-ax+2,x≤0或x≥2a
ax+2,0<x<2a
,分類討論求得h(x)的最小值為2.②當a<0時,h(x)=
x2-ax+2,x≥0或x≤2a
ax+2,2a>x>0
,同理求得h(x)的最小值為2.
③當a=0時,h(x)=x2+2≥2,∴h(x)的最小值為2.綜上可得結(jié)論.
(3)f(x)=x2-ax+2,x∈[a,a+1],其對稱軸為x=
a
2
,根據(jù)新定義,分類討論求得a的范圍,綜合可得結(jié)論.
解答: 解:(1)關(guān)于x的方程f(x)=g(x)在(1,2)內(nèi)恰有一解,即函數(shù)M(x)=f(x)-g(x)=x2-2ax 在(1,2)內(nèi)恰有一個零點,
故有M(1)M(2)=(1-2a)(4-4a)<0,求得
1
2
<a<1.
(2)①當a>0時,設(shè)h(x)=
f(x),f(x)≥g(x)
g(x),f(x)<g(x)
,即h(x)=
x2-ax+2,x≤0或x≥2a
ax+2,0<x<2a
,故當2a>x>0時,ax+2>2;
當x≤0時,x2-ax+2≥2;當x≤2a時,x2-ax+2≥2a2+2>2,
故h(x)的最小值為2.
②當a<0時,h(x)=
x2-ax+2,x≥0或x≤2a
ax+2,2a>x>0
,同理求得h(x)的最小值為2.
③當a=0時,h(x)=x2+2≥2,∴h(x)的最小值為2.
綜上可得,h(x)的最小值為2.
(3)f(x)=x2-ax+2,x∈[a,a+1],其對稱軸為x=
a
2

①當
a
2
≤a,即a≥0時,函數(shù)f(x)min=f(a)=a2-a2+2=2.
若函數(shù)f(x)具有“DK”性質(zhì),則有2≤a總成立,即a≥2.
②當a<
a
2
<a+1,即-2<a<0時,f(x)min=f(
a
2
)=-
a2
4
+2.
若函數(shù)f(x)具有“DK”性質(zhì),則有-
a2
4
+2≤a總成立,解得a∈∅.
③當
a
2
≥a+1,即a≤-2時,
函數(shù)f(x)的最小值為f(a+1)=a+3.
若函數(shù)f(x)具有“DK”性質(zhì),則有a+3≤a,解得a∈∅.
綜上所述,若f(x)在[a,a+1]上具有“DK”性質(zhì),則a的取值范圍為[2,+∞).
點評:本題主要考查新定義,二次函數(shù)的性質(zhì),體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化、分類討論的數(shù)學(xué)思想,屬于中檔題.
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