Question

4．已知橢圓$\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{b^2}$=1（0＜b＜3），左、右焦點(diǎn)分別為F₁，F(xiàn)₂，過F₁的直線交橢圓于兩點(diǎn)A，B，若|BF₂|+|AF₂|的最大值為8，則b的值是$\sqrt{6}$．

Answer 1

分析 由題意可知橢圓是焦點(diǎn)在x軸上的橢圓，利用橢圓定義得到|BF₂|+|AF₂|=12-|AB|，再由過橢圓焦點(diǎn)的弦中通徑的長最短，可知當(dāng)AB垂直于x軸時(shí)|AB|最小，把|AB|的最小值$\frac{2^{2}}{3}$代入|BF₂|+|AF₂|=12-|AB|，由|BF₂|+|AF₂|的最大值等于8列式求b的值．

解答 解：由0＜b＜3可知，焦點(diǎn)在x軸上，
∵過F₁的直線l交橢圓于A，B兩點(diǎn)，∴|BF₂|+|AF₂|+|BF₁|+|AF₁|=2a+2a=4a=12，
∴|BF₂|+|AF₂|=12-|AB|．
當(dāng)AB垂直x軸時(shí)|AB|最小，|BF₂|+|AF₂|值最大，
此時(shí)|AB|=$\frac{2^{2}}{3}$，∴8=12-$\frac{2^{2}}{3}$，
解得b=$\sqrt{6}$．
故答案為：$\sqrt{6}$．

點(diǎn)評 本題考查了直線與圓錐曲線的關(guān)系，考查了橢圓的定義，解答此題的關(guān)鍵是明確過橢圓焦點(diǎn)的弦中通徑的長最短，是中檔題．