Question

已知函數(shù)f(x)=sin2x-(

2

3

)|x|+

1

2

，給出下列結(jié)論：
①f（x）是偶函數(shù)；              
②f（x）的最小值為-

1

2

；
③f（x）的最大值為

3

2

；          
④當(dāng)x＞2015時(shí)，f（x）＞

1

2

恒成立．
其中正確結(jié)論的序號(hào)是

 

．（寫出所有正確結(jié)論的序號(hào)）

Answer 1

考點(diǎn)：命題的真假判斷與應(yīng)用

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：分別根據(jù)函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性進(jìn)行判斷即可．

解答： 解：①函數(shù)的定義域?yàn)闉镽，
則f（-x）=sin²x-（

2

3

）^|-x|+

1

2

=sin²x-（

2

3

）^|x|+

1

2

=f（x），
則函數(shù)f（x）是偶函數(shù)；故①正確，
②當(dāng)x=kπ，k∈Z時(shí)，sinx=0，即sin²x的最小值為0，
∵（

2

3

）^|x|∈（0，1]，
∴-（

2

3

）^|x|∈[-1，0），當(dāng)且僅當(dāng)x=0時(shí)，取最小值，
∴當(dāng)x=0時(shí)，函數(shù)f（x）的最小值為0-1+

1

2

=-

1

2

；故②正確，
③∵-（

2

3

）^|x|∈[-1，0），∴-（

2

3

）^|x|無最大值，
則f（x）的為最大值，故③錯(cuò)誤；          
④取特殊值當(dāng)x=1000π時(shí)，x＞2015，sin²1000π=0，且（

2

3

）^1000π＞0
∴f（1000π）=

1

2

-（

2

3

）^1000π＜

1

2

，因此結(jié)論④錯(cuò)．
故答案為：①②

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查函數(shù)奇偶性的判斷及借助不等式知識(shí)對(duì)函數(shù)值域范圍進(jìn)行判斷，涉及到函數(shù)奇偶性的判斷，同時(shí)還涉及到三角函數(shù)、指數(shù)函數(shù)的范圍問題，利用不等式的放縮求新函數(shù)的范圍．綜合性強(qiáng)