Question

如圖所示，四棱錐P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，PB與底面所成的角為45°，底面ABCD為直角梯形，∠ABC=∠BAD=90°，PA=BC=

1

2

AD．
（1）求證：平面PAC⊥平面PCD；
（2）在棱PD上是否存在一點E，使CE∥平面PAB？若存在，請確定E點的位置；若不存在，請說明理由．

Answer 1

考點：平面與平面垂直的判定,直線與平面平行的判定

專題：空間位置關系與距離

分析：（1）設PA=1，由勾股定理逆定理得AC⊥CD，根據線面垂直的性質可知PA⊥CD，又PA∩AC=A，根據線面垂直的判定定理可知CD⊥面PAC，而CD?面PCD，根據面面垂直的判定定理可知面PAD⊥面PCD；
（2）作CF∥AB交于AD于F，作EF∥AP交于PD于E，連接CE，根據面面平行的性質定理可知平面EFC∥平面PAB，又CE?平面EFC，根據面面平行的性質可知CE∥平面PAB，根據線面關系可知E為PD中點，使CE∥面PAB．

解答： 解：（1）設PA=1．
由題意PA=BC=1，AD=2．（2分）
∵AB=1，BC=

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2

AD，由∠ABC=∠BAD=90°，得CD=AC=

2

．
由勾股定理逆定理得AC⊥CD．（3分）
又∵PA⊥面ABCD，CD?面ABCD，
∴PA⊥CD．又PA∩AC=A，∴CD⊥面PAC．（5分）
又CD?面PCD，∴面PAC⊥面PCD．（6分）
（2）作CF∥AB交于AD于F，作EF∥AP交于PD于E，連接CE．（8分）
∵CF∥AB，EF∥PA，CF∩EF=F，PA∩AB=A，
∴平面EFC∥平面PAB．（10分）
又CE?平面EFC，∴CE∥平面PAB．
∵BC=

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2

AD，AF=BC，
∴F為AD的中點，∴E為PD中點．
故棱PD上存在點E，且E為PD中點，使CE∥面PAB．（12分）

點評：本小題主要考查空間中的線面關系，考查線面平行、面面垂直的判定，考查空間想象能力和推理論證能力，考查轉化思想，屬于中檔題．