Question

已知函數(shù)f（x）=x³-2x²+x+3，
（1）函數(shù)的極值；      
（2）x∈[

2

3

，1]時求最值．

Answer 1

考點：利用導數(shù)研究函數(shù)的極值,利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,利用導數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值

專題：計算題,導數(shù)的概念及應用

分析：（1）求導數(shù)，通過對f'（x）＞0與f'（x）＜0的分析，可求得f（x）的單調(diào)區(qū)間和極值；
（2）利用函數(shù)的單調(diào)性，即可求出最值．

解答： 解：（1）f'（x）=3x²-4x+1，
令 f'（x）=0，解得x₁=

1

3

，x₂=1．                                
列表討論f（x）、f'（x）的變化情況：

x	（-∞， 1 3 ）	1 3	（ 1 3 ，1）	1	（1，+∞）
f'（x）	+	0	-	0	+
f（x）	↗	極大值	↘	極小值	↗

所以，f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（-∞，

1

3

）、（1，+∞）；f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間為（

1

3

，1）；   
當x=

1

3

時，f（x）的極大值是f（

1

3

）=

85

27

；
當x=1時，f（x）的極小值是f（1）=3；
（2）由（1）知，函數(shù)在[

2

3

，1]上單調(diào)遞增，
∴當x=

2

3

時，f（x）的最大值是f（

2

3

）=

83

27

；
當x=1時，f（x）的最小值是f（1）=3．

點評：本題考查利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性與極值、最值，著重考查導數(shù)與單調(diào)性間的關(guān)系及應用，屬于中檔題．