Question

給出下列四個命題：
①已知直線a、b和平面α，若a∥b，且a∥α，則b∥α；
②平面上到一個定點和一條定直線的距離相等的點的軌跡是一條拋物線；
③已知雙曲線

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0），則直線y=

b

a

x+m(m∈R）與雙曲線有且只有一個公共點；
④若兩個平面垂直，那么一個平面內(nèi)與它們的交線不垂直的直線與另一個平面也不垂直．
其中正確命題的序號為

 

．

Answer 1

考點：命題的真假判斷與應(yīng)用

專題：簡易邏輯

分析：利用線面平行的判定定理判斷①，結(jié)合拋物線的定義及條件判斷②，利用雙曲線漸近線的性質(zhì)判斷③，利用面面垂直的判定定理判斷④．

解答： 解：①線面平行的判定定理前提條件是直線b?α，所以條件中沒有b?α，所以①錯誤；
②當定點位于定直線時，此時的點到軌跡為垂直于直線且以定點為垂足的直線，只有當點不在直線時，軌跡才是拋物線，所以②錯誤；
③雙曲線

x2

a2

-

y2

b2

=1的漸近線方程是y=

b

a

x，
則當m=0時，直線y=

b

a

x+m(m∈R）與漸近線重合，此時直線與雙曲線沒有公共點；
當m≠0時，直線y=

b

a

x+m(m∈R）與漸近線平行，此時直線與雙曲線有且僅有一個公共點，所以③錯誤；
④根據(jù)面面垂直的性質(zhì)定理可知，只有當平面內(nèi)的直線垂直于交線時，才垂直于另一個平面，否則將不和另一個平面垂直，所以④正確．
綜上得，正確命題的序號為④，
故答案為：④．

點評：本題考查空間線面平行、垂直的判定定理，直線與圓錐曲線位置關(guān)系的判斷，以及命題的真假判斷，比較綜合，考查學生對知識的掌握情況．