【題目】已知函數(shù).

（1）函數(shù)，討論的單調(diào)性；

（2）曲線在點(diǎn)處的切線為，是否存在這樣的點(diǎn)使得直線與曲線也相切，若存在，判斷滿足條件的點(diǎn)的個(gè)數(shù)，若不存在，請(qǐng)說明理由.

【答案】（1）見解析；（2）存在，有且只有兩個(gè)

【解析】

（1）利用導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則得出，分，，，討論單調(diào)性，分別解出與的區(qū)間即可得出單調(diào)區(qū)間．

（2）先求直線為函數(shù)的圖象上一點(diǎn)處的切線方程，再設(shè)直線與的圖象也相切，切點(diǎn)為，進(jìn)而可得，再判斷方程在區(qū)間上有且只有兩個(gè)實(shí)數(shù)根．

（1）因?yàn)椋?/span>，

所以：.

所以：①當(dāng)時(shí)：在上為減函數(shù)，在為增函數(shù)；

②當(dāng)時(shí)：在上為增函數(shù)，在上為減函數(shù)，在上為增函數(shù)；

③當(dāng)時(shí)：在上為增函數(shù)；

④當(dāng)時(shí)：在上為增函數(shù)，在上為減函數(shù)，在上為增函數(shù).

（2）設(shè).

因?yàn)椋?/span>，所以：.

所以直線的方程為：，即：①.

假設(shè)直線與的圖象也相切，切點(diǎn)為：.

因?yàn)?/span>，所以.

所以直線的方程也可以寫作為：.

又因?yàn)?/span>，即：.

所以直線的方程為：，即：②.

由①②有：，即：.

令，

所以.

令，得：，

所以在遞減，在遞增.

所以，

又因?yàn)楫?dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.

所以在有且只有兩個(gè)實(shí)數(shù)根.

所以，存在這樣的點(diǎn)使得直線與函數(shù)的圖象也相切，這樣的點(diǎn)有且只有兩個(gè).

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知橢圓C ：與圓相交于M，N，P，Q四點(diǎn)，四邊形MNPQ為正方形，△PF1F2的周長(zhǎng)為

（1）求橢圓C的方程；

（2）設(shè)直線l與橢圓C相交于A、B兩點(diǎn)若直線AD與直線BD的斜率之積為，證明：直線恒過定點(diǎn).

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】設(shè)函數(shù).

（1）求的單調(diào)區(qū)間；

（2）若對(duì)于任意，都有，求的取值范圍.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】某省從2021年開始，高考采用取消文理分科，實(shí)行“”的模式，其中的“1”表示每位學(xué)生必須從物理、歷史中選擇一個(gè)科目且只能選擇一個(gè)科目.某校高一年級(jí)有2000名學(xué)生（其中女生900人）.該校為了解高一年級(jí)學(xué)生對(duì)“1”的選課情況，采用分層抽樣的方法抽取了200名學(xué)生進(jìn)行問卷調(diào)查，下表是根據(jù)調(diào)查結(jié)果得到的列聯(lián)表.

性別

選擇物理

選擇歷史

總計(jì)

男生

________

50

女生

30

________

總計(jì)

________

________

200

（1）求，的值；

（2）請(qǐng)你依據(jù)該列聯(lián)表判斷是否有99.5%的把握認(rèn)為選擇科目與性別有關(guān)？說明你的理由.

0.100

0.050

0.025

0.010

0.005

0.001

2.706

3.841

5.024

6.635

7.879

10.828

附：，其中.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)（）的單調(diào)遞減區(qū)間為.

（I）求a的值；

（II）證明：當(dāng)時(shí)，；

（III）若存在，使得當(dāng)時(shí)，恒有，求實(shí)數(shù)k的取值范圍.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】自由購(gòu)是通過自助結(jié)算方式購(gòu)物的一種形式. 某大型超市為調(diào)查顧客使用自由購(gòu)的情況，隨機(jī)抽取了100人，統(tǒng)計(jì)結(jié)果整理如下：

20以下

70以上

使用人數(shù)

3

12

17

6

4

2

0

未使用人數(shù)

0

0

3

14

36

3

0

（Ⅰ）現(xiàn)隨機(jī)抽取 1 名顧客，試估計(jì)該顧客年齡在且未使用自由購(gòu)的概率；

（Ⅱ）從被抽取的年齡在使用自由購(gòu)的顧客中，隨機(jī)抽取3人進(jìn)一步了解情況，用表示這3人中年齡在的人數(shù)，求隨機(jī)變量的分布列及數(shù)學(xué)期望；

（Ⅲ）為鼓勵(lì)顧客使用自由購(gòu)，該超市擬對(duì)使用自由購(gòu)的顧客贈(zèng)送1個(gè)環(huán)保購(gòu)物袋.若某日該超市預(yù)計(jì)有5000人購(gòu)物，試估計(jì)該超市當(dāng)天至少應(yīng)準(zhǔn)備多少個(gè)環(huán)保購(gòu)物袋.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】在平面直角坐標(biāo)系中，曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），直線過原點(diǎn)且傾斜角為，以原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系.

（1）求曲線和直線的極坐標(biāo)方程；

（2）若相交于不同的兩點(diǎn)，求的取值范圍.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知橢圓的兩焦點(diǎn)為，，且橢圓上一點(diǎn)，滿足，直線與橢圓交于、兩點(diǎn)，與軸、軸分別交于點(diǎn)、，且.

（1）求橢圓的方程；

（2）若，且，求的值；

（3）當(dāng)△面積取得最大值，且點(diǎn)在橢圓上時(shí)，求的值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)．

（1）當(dāng)時(shí)，求曲線與曲線的公切線的方程；

（2）設(shè)函數(shù)的兩個(gè)極值點(diǎn)為，求證：關(guān)于的方程有唯一解．

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