Question

【題目】已知橢圓C ：與圓相交于M，N，P，Q四點，四邊形MNPQ為正方形，△PF1F2的周長為

（1）求橢圓C的方程；

（2）設直線l與橢圓C相交于A、B兩點若直線AD與直線BD的斜率之積為，證明：直線恒過定點.

Answer 1

【答案】（1）（2）見解析

【解析】

（1）根據四邊形MNPQ為正方形，可得到關于的一個方程，由△PF1F2的周長為得到關于的另一個方程，聯立方程，解方程組，即可得到橢圓C的方程.

（2）對直線l的斜率存在與否進行討論，當斜率不存在時，結合條件容易排除，當斜率存在時，設出直線方程與橢圓方程聯立，得到兩根之和、兩根之積，將條件直線AD與直線BD的斜率之積為轉化為韋達定理的形式，代入化簡即可證明結論.

解：（1）

如圖所示，設點，

由題意四邊形MNPQ為正方形，所以，即，

因為點在圓上，所以，

即，又點在橢圓上，

所以，即，

所以①，

又△PF1F2的周長為，

即②，

由①②解得，，

所以橢圓的方程為：.

（2）①當直線斜率不存在時，設：，，，

因為點在橢圓上，

所以，即，

所以不滿足題意.

②當直線斜率存在時，設：，

，，聯立，

整理得，

所以，，

則

，

將，代入上式化簡得：

.

即，解得，，

所以直線恒過定點.