Question

【題目】已知函數(shù)，，.

（Ⅰ）若直線與曲線相切于點(diǎn)，證明：；

（Ⅱ）若不等式有且僅有兩個(gè)整數(shù)解，求的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）見(jiàn)解析（2）

【解析】

（Ⅰ）求得函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，由導(dǎo)數(shù)的幾何意義和直線的圖象過(guò)定點(diǎn)，得到，設(shè)，利用導(dǎo)數(shù)得到函數(shù)的單調(diào)性，根據(jù)零點(diǎn)的存在定理，即可求解.

（Ⅱ）由得，令，利用導(dǎo)數(shù)和由（1）知在上單調(diào)遞增，求得，通過(guò)分類討論的范圍，即可滿足條件的范圍.

（Ⅰ），

由導(dǎo)數(shù)的幾何意義可知，，�、�

又直線的圖象過(guò)定點(diǎn)，因此，

即，�、�

聯(lián)立①②消去有.

設(shè)，則，所以在上單調(diào)遞增．

而，，，

由函數(shù)零點(diǎn)存在性定理知.

（Ⅱ）由得，

令，則，

由（Ⅰ）知在上單調(diào)遞增，

且時(shí)，；在，，

故在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．

∴.

易證，∴，

當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.

（1）若，則，

此時(shí)有無(wú)窮多個(gè)整數(shù)解，不合題意；

（2）若，即，因?yàn)?/span>在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，

所以，，

所以無(wú)整數(shù)解，不合題意；

（3）若，即，此時(shí)，故0，1是的兩個(gè)整數(shù)解，又只有兩個(gè)整數(shù)解，因此，

解得，所以.