Question

【題目】已知常數，數列的前n項和為，，.

（1）求數列的通項公式；

（2）若，且數列是單調遞增數列，求實數a的取值范圍；

（3）若，，對于任意給定的正整數k，是否都存在正整數p、q，使得？若存在，試求出p、q的一組值（不論有多少組，只要求出一組即可）；若不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）（2）且（3）存在滿足要求的p，q，且有一組值為

【解析】

(1)利用關系結合題目條件消去，得到的遞推關系，從而求出的通項公式.
(2) 數列是單調遞增數列,則恒成立，從而得到，再分的奇偶性討論求解，從而得到答案.
(3)由（1），，可化為，得，令或，可得答案.

解：（1）∵

∴

∴

相減得

即

其中

∴為定值

∴是以2為首項為公差的等差數列

∴

方法二：∵

∴

∴

其中

∴為定值

∴是以2為首項a為公差的等差數列

∴

∴

（2）由是單調遞增數列

得

即

即

1°若n為正奇數

則在n為正奇數時恒成立

設

則

∴

∴即

方法二：則

它在時為正，在為負

∴

∴即

2°若n為正偶數

則在n為正偶數時恒成立

設

則

∴

∴

方法二：則

∴

∴

綜合1°2°及得且

（3）由（1）得

∴可化為

方法一：即

任意給定的正整數,為正整數，則

令得

（或令得，或交換前兩組p，q的值，能夠確定的有四組）

∴存在滿足要求的p，q，且有一組值為

方法二：即即

令即

（或令即，或交換前兩組p，q的值，共能確定四組）

∴存在滿足要求的p，q，且有一組值為