Question

11．已知函數(shù)f（x）=e^x+mx²．
（1）若m=1，求曲線y=f（x）在（0，f（0））處的切線方程；
（2）若存在實(shí)數(shù)m，n，使得f（x）-n≥0（m，n∈R）恒成立，求m-n的最小值．

Answer 1

分析 （1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，計(jì)算f（0），f′（0），求出切線方程即可；
（2）利用不等式恒成立，轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值，求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，判斷函數(shù)的單調(diào)性求函數(shù)的最值進(jìn)行求解

解答 解：（1）m=1時(shí)，f（x）=e^x+x²，f′（x）=e^x+2x，
f（0）=1，f′（0）=1，
故切線方程是：y=x+1；
（2）g（x）=f′（x）=e^x+2mx，g′（x）=e^x+2m，
①當(dāng)m＜0時(shí)，則當(dāng)x＜0時(shí)，g（x）＞0，
即函數(shù)f（x）在（-∞，0）上單調(diào)遞增，且當(dāng)x→-∞時(shí)，f（x）→-∞，這與f（x）≥n矛盾；
②當(dāng)m=0，由e^x≥n，得n≤0，∴m-n≥0；
③當(dāng)m＞0，g′（x）＞0，∴函數(shù)g（x）在（-∞，+∞）上的單調(diào)遞增，
又g（-$\frac{1}{2m}$）=e-$\frac{1}{2m}$-1＜0，g（0）=1＞0，
∴存在唯一的x₀∈（-$\frac{1}{2m}$，0），使得g（x₀）=0；
當(dāng)x∈（-∞，x₀）時(shí)，g（x）＜0；當(dāng)x∈（x₀，+∞）時(shí)，g（x）＞0；
即f（x）在（-∞，x₀）上單調(diào)遞減，在（x₀，+∞）上單調(diào)遞增，
∴f（x）的最小值為f（x₀），
其中x₀滿足e^x₀+2mx₀=0，故m=-$\frac{{e}^{{x}_{0}}}{{2x}_{0}}$且x₀＜0，
∵f（x）≥n恒成立，∴n≤f（x₀），
即-n≥-e^x₀-mx₀²，于是m-n≥-e^x₀-mx₀²=-e^x₀（1+$\frac{1}{{2x}_{0}}$-$\frac{{x}_{0}}{2}$），
記h（x）=-e^x（1+$\frac{1}{2x}$-$\frac{x}{2}$），x＜0，
則h′（x）=$\frac{1}{{2x}^{2}}$e^x（x-1）²（x+1），
由h′（x）＜0得x＜-1，即函數(shù)h（x）在（-∞，-1）上單調(diào)時(shí)遞減，
由h′（x）＞0得-1＜x＜0，即函數(shù)h（x）在（-1，0）上單調(diào)遞增，
∴h（x）_min=h（-1）=-$\frac{1}{e}$，
綜上得m-n的最小值為-$\frac{1}{e}$，此時(shí)x₀=-1．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查函數(shù)單調(diào)性和最值的應(yīng)用，結(jié)合函數(shù)零點(diǎn)的判定定理進(jìn)行轉(zhuǎn)化，求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)是解決本題的關(guān)鍵．考查學(xué)生的運(yùn)算和轉(zhuǎn)化能力．