Question

等差數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，已知a₁=7，a₂為整數(shù)，當(dāng)且僅當(dāng)n=4時(shí)，S_n取得最大值．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)b_n=（9-a_n）•2^n-1，求數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和為T_n．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和,等差數(shù)列的性質(zhì)

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）設(shè)等差數(shù)列{a_n}的公差為d，由于當(dāng)且僅當(dāng)n=4時(shí)，S_n取得最大值．可得a₄＞0，a₅＜0．解得-

7

3

＜d＜-

7

4

，由于a₂為整數(shù)，可得d為整數(shù)，即可得出．
（2）b_n=（9-a_n）•2^n-1=n•2ⁿ．利用“錯(cuò)位相減法”、等比數(shù)列的前n選和公式即可得出．

解答： 解：（1）設(shè)等差數(shù)列{a_n}的公差為d，
∵當(dāng)且僅當(dāng)n=4時(shí)，S_n取得最大值．
∴a₄＞0，a₅＜0．
∴

7+3d＞0 7+4d＜0

，解得-

7

3

＜d＜-

7

4

，
∵a₂為整數(shù)，∴d為整數(shù)，
∴d=-2．
∴a_n=7+（n-1）×（-2）=9-2n．
（2）b_n=（9-a_n）•2^n-1=2n•2^n-1=n•2ⁿ．
∴T_n=1×2+2×2²+3×2³+…+n•2ⁿ，
2T_n=2²+2×2³+3×2⁴+…+（n-1）×2ⁿ+n×2ⁿ⁺¹，
∴-T_n=2+2²+2³+…+2ⁿ-n•2ⁿ⁺¹=

2(2n-1)

2-1

-n×2ⁿ⁺¹=（1-n）×2ⁿ⁺¹-2，
∴T_n=（n-1）×2ⁿ⁺¹+2．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及其性質(zhì)、“錯(cuò)位相減法”、等比數(shù)列的前n選和公式，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．