Question

【題目】已知圓C：，直線(xiàn)l：．

Ⅰ求證：直線(xiàn)l與圓C必相交；

Ⅱ求直線(xiàn)l被圓C截得的弦長(zhǎng)最短時(shí)直線(xiàn)l的方程以及最短弦長(zhǎng)．

Answer 1

【答案】（1）詳見(jiàn)解析；（2），.

【解析】

1根據(jù)直線(xiàn)l方程得到直線(xiàn)l恒過(guò)，求出距離小于半徑，即可得到直線(xiàn)l與圓C必相交；

2當(dāng)直線(xiàn)直線(xiàn)MC時(shí)，直線(xiàn)l被圓C截得的弦長(zhǎng)最短，求出直線(xiàn)MC的斜率，根據(jù)兩直線(xiàn)垂直時(shí)斜率乘積為求出直線(xiàn)l斜率，根據(jù)M坐標(biāo)確定出直線(xiàn)l方程，利用垂徑定理，勾股定理求出最短弦長(zhǎng)即可．

1證明：根據(jù)題意得：直線(xiàn)l：恒過(guò)點(diǎn)，

圓心，半徑為5，

，

為圓內(nèi)，

則直線(xiàn)l與圓C必相交；

2當(dāng)直線(xiàn)直線(xiàn)MC時(shí)，直線(xiàn)l被圓C截得的弦長(zhǎng)最短，

設(shè)直線(xiàn)MC解析式為，

把M與C坐標(biāo)代入得：，

解得：，，

直線(xiàn)MC解析式為，

直線(xiàn)l斜率為2，

直線(xiàn)l過(guò)點(diǎn)M，

直線(xiàn)l方程為，即；

根據(jù)題意得：最短弦長(zhǎng)為．