Question

設(shè)f（x）是定義在R上的偶函數(shù)，對任意的x∈R，都有f（x+2）=f（x）-f（1），且當x∈[2，3]時，f（x）=2x²-12x-18，若在區(qū)間（0，+∞）上關(guān)于函數(shù)y=f（x）-log_a（x+1）有3個不同的零點，則a的取值范圍為

 

．

Answer 1

考點：函數(shù)零點的判定定理

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：令x=-1，求出f（1），進而可得函數(shù)f（x）的周期為2，可畫出圖形，把問題轉(zhuǎn)化為兩函數(shù)圖象有3個交點，數(shù)形結(jié)合可得a的不等式組，解不等式組可得．

解答： 解：∵f（x+2）=f（x）-f（1），且f（x）是定義域為R的偶函數(shù)，
∴令x=-1 可得f（-1+2）=f（-1）-f（1），∴2f（1）=f（-1），
由偶函數(shù)的性質(zhì)可得f（-1）=f（1），∴f（1）=0
∴f（x+2）=f（x），即f（x）是周期為2的偶函數(shù)，
∵當x∈[2，3]時，f（x）=-2x²+12x-18=-2（x-3）²
圖象為開口向下，頂點為（3，0）的拋物線，
∵若在區(qū)間（0，+∞）上關(guān)于x的函數(shù)y=f（x）-log_a（x+1）有3個不同的零點，
∴y=f（x）與y=log_a（x+1）有3個不同的交點，
數(shù)形結(jié)合可得0＜a＜1且

loga3＞-2 loga5＜-2

，解得

5

5

＜a＜

3

3

，
故答案為：（

5

5

，

3

3

）

點評：本題考查函數(shù)周期性及其應(yīng)用，解題的過程中用到數(shù)形結(jié)合的方法，屬中檔題．