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18.設(shè)函數(shù)f(x)=|x+a|-|x-1a|.
(I)當(dāng)a=1時(shí),求不等式f(x)≥12的解集;
(Ⅱ)若對任意a∈[0,1],不等式f(x)≥b的解集為空集,求實(shí)數(shù)b的取值范圍.

分析 (I)當(dāng)a=1時(shí),利用絕對值的意義求得不等式的解集.
(Ⅱ)由題意可得b大于f(x)的最大值.再根據(jù)絕對值的意義可得f(x)的最大值為1a+a,可得實(shí)數(shù)b的范圍.

解答 解:(I)當(dāng)a=1時(shí),不等式f(x)≥12,即|x+1|-|x|≥12,
即數(shù)軸上的x對應(yīng)點(diǎn)到-1對應(yīng)點(diǎn)的距離減去它到原點(diǎn)的距離大于12
而-0.25對應(yīng)點(diǎn)到-1對應(yīng)點(diǎn)的距離減去它到原點(diǎn)的距離正好等于12,
故|x+1|-|x|≥12 的解集為{x|x≥-0.25}.
(Ⅱ)若對任意a∈[0,1],不等式f(x)≥b的解集為空集,即 f(x)<b恒成立,
則b大于f(x)的最大值.
函數(shù)f(x)=|x+a|-|x-1a|表示數(shù)軸上的x對應(yīng)點(diǎn)到-a對應(yīng)點(diǎn)的距離減去它到1a對應(yīng)點(diǎn)的距離,
故f(x)的最大值為1a+a,故實(shí)數(shù)b>1a+a

點(diǎn)評 本題主要考查絕對值的意義,絕對值不等式的解法,函數(shù)的恒成立問題,屬于中檔題.

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