Question

（1）已知α，β都為銳角，sinα=

1

7

，cos（α+β）=

5 3

14

，求sinβ與cosβ的值；
（2）已知0＜β＜

π

2

＜α＜π，且cos（α-

β

2

）=-

1

9

，sin（

α

2

-β）=

2

3

，求cos（α+β）的值．

Answer 1

考點：兩角和與差的余弦函數(shù),兩角和與差的正弦函數(shù)

專題：計算題,三角函數(shù)的求值

分析：（1）已知α，β都為銳角，sinα=

1

7

，先求出cosα的值，由cos（α+β）=

5 3

14

，用兩角和的余弦公式化簡后即可解得sinβ與cosβ的值；
（2）已知0＜β＜

π

2

＜α＜π，且cos（α-

β

2

）=-

1

9

，sin（

α

2

-β）=

2

3

，先求出sin（α-

β

2

）=

4 5

9

，cos（

α

2

-β）=

5

3

，即可求出sin（

α

2

+

β

2

）的值，再由cos（α+β）=1-2sin（

α

2

+

β

2

）sin（

α

2

+

β

2

）即可求出cos（α+β）的值．

解答： 解：（1）已知α，β都為銳角，sinα=

1

7

，有cosα=

1-sin2α

=

4 3

7

，
cos（α+β）=

5 3

14

，故有cosαcosβ-sinαsinβ=

5 3

7

，即有8

3

cosβ-2sinβ=5

3

．
令cosβ=A，則sinβ=

1-A2

，代入上式整理得，196A²-240A+71=0，
解得A=

240± 2402-4×196×71

392

=

240±44

392

，故A₁=

71

98

，A₂=

1

2

．
即：cosβ=

71

98

或

1

2

．
則：sinβ=

1-A2

=

39 3

98

或

3

2

．
∵cosβ=

1

2

，sinβ=

3

2

代入8

3

cosβ-2sinβ=5

3

中不成立，故舍去．
∴cosβ=

71

98

，sinβ=

39 3

98

．
（2）∵0＜β＜

π

2

＜α＜π
∴

π

4

＜α-

β

2

＜π；-

π

4

＜

α

2

-β＜

π

2

∵cos（α-

β

2

）=-

1

9

，sin（

α

2

-β）=

2

3

，
∴sin（α-

β

2

）=

4 5

9

，cos（

α

2

-β）=

5

3

sin（

α

2

+

β

2

）=sin[（α-

β

2

）-（

α

2

-β）]=sin（α-

β

2

）cos（

α

2

-β）-cos（α-

β

2

）sin（

α

2

-β）=

22

27

cos（α+β）=1-2sin（

α

2

+

β

2

）sin（

α

2

+

β

2

）=-

239

729

．

點評：本題主要考察兩角和與差的正弦函數(shù)、余弦函數(shù)和計算能力，屬于中檔題．