已知點M是圓C:(x+1)2+y2=8上的動點,定點D(1,0),點P在直線DM上,點N在直線CM上,且滿足
DM
=2
DP
,
NP
DM
=0,動點N的軌跡為曲線E.
(Ⅰ)求曲線E的方程;
(Ⅱ)若AB是曲線E的長為2的動弦,O為坐標(biāo)原點,求△AOB面積S的最大值.
考點:直線與圓錐曲線的關(guān)系,軌跡方程
專題:圓錐曲線中的最值與范圍問題
分析:(Ⅰ)由已知得NP為DM的垂直平分線,|ND|=|NM|,|CN|+|ND|=2
2
>2
,由此能求了軌跡E的方程.
(Ⅱ)法一:設(shè)直線AB的方程為y=kx+m,由
y=kx+m
x2
2
+y2=1
,得(1+2k2)x2+4kmx+2m2-2=0.由此利用根的判別式、韋達定理、弦長公式、點到直線的距離公式,結(jié)合已知條件能求出△AOB面積S的最大值.
(Ⅱ)法二:設(shè)直線AB的方程為y=kx+m,由
y=kx+m
x2
2
+y2=1
,得(1+2k2)x2+4kmx+2m2-2=0.由此利用根的判別式、韋達定理、點到直線的距離公式,結(jié)合已知條件能求出△AOB面積S的最大值.
解答: (Ⅰ)解:因為
DM
=2
DP
,
NP
DM
=0
,
所以NP為DM的垂直平分線,
所以|ND|=|NM|,又因為|CN|+|NM|=2
2
,
所以|CN|+|ND|=2
2
>2
…(4分)
所以動點N的軌跡是以點C(-1,0),D(1,0)為焦點的長軸為2
2
的橢圓.
所以軌跡E的方程為
x2
2
+y2=1
.…(7分)
(Ⅱ)解法一:因為線段AB的長等于橢圓短軸的長,要使三點A、O、B能構(gòu)成三角形,
則弦AB不能與x軸垂直,故可設(shè)直線AB的方程為y=kx+m,
y=kx+m
x2
2
+y2=1
,消去y,并整理,得(1+2k2)x2+4kmx+2m2-2=0.…(9分)
設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),又△=16k2m2-4(1+2k2)(2m2-2)>0,
所以x1+x2=-
4km
1+2k2
,x1x2=
2(m2-1)
1+2k2
…(10分)
因為|AB|=2,所以
(1+k2)(x2-x1)2
=2
,即(1+k2)[(x2+x1)2-4x1x2]=4
所以(1+k2)[(-
4km
1+2k2
)
2
-
8(m2-1)
1+2k2
]=4
,即
1
1+k2
=2(1-m2)
,
因為1+k2≥1,所以
1
2
m2<1
. …(12分)
又點O到直線AB的距離h=
|m|
1+k2
,
因為S=
1
2
|AB|•h
=h,
所以S2=h2=2m2(1-m2)=-2(m2-
1
2
)2+
1
2
…(14分)
所以0<S2
1
2
,即S的最大值為
2
2
.…(15分)
(Ⅱ)解法二:因為線段AB的長等于橢圓短軸的長,要使三點A、O、B能構(gòu)成三角形,
則弦AB不能與x垂直,故可設(shè)直線AB的方程為y=kx+m,
y=kx+m
x2
2
+y2=1
,消去y,并整理,得(1+2k2)x2+4kmx+2m2-2=0.
設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),又△=16k2m2-4(1+2k2)(2m2-2)>0,
所以x1+x2=-
4km
1+2k2
,x1x2=
2(m2-1)
1+2k2
.…(10分)
因為|AB|=2,所以
(1+k2)(x2-x1)2
=2

因為(1+k2)[(x1+x2)2-4x1x2]=4,
所以(1+k2)[(-
4km
1+2k2
)
2
-
8(m2-1)
1+2k2
]=4
,
所以m2=
2k2+1
2(1+k2)
,…(12分)
又點O到直線AB的距離h=
|m|
1+k2
,所以S=
1
2
|AB|•h
=h.
所以S2=h2=
m2
1+k2
=
2k2+1
2(1+k2)2
=
1
1+k2
-
1
2(1+k2)2

設(shè)t=
1
1+k2
,則S2=-
1
2
t2+t(0<t≤1)
,…(14分)
所以0<S2
1
2
,即S的最大值為
2
2
. …(15分)
點評:本題考查橢圓方程的求法,考查三有形面積的最大值的求法,解題時要注意根的判別式、韋達定理、弦長公式、點到直線的距離公式的合理運用.
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OA
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=0.
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