Question

已知點M是圓C：（x+1）²+y²=8上的動點，定點D（1，0），點P在直線DM上，點N在直線CM上，且滿足

DM

=2

DP

，

NP

•

DM

=0，動點N的軌跡為曲線E．
（Ⅰ）求曲線E的方程；
（Ⅱ）若AB是曲線E的長為2的動弦，O為坐標(biāo)原點，求△AOB面積S的最大值．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的關(guān)系,軌跡方程

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（Ⅰ）由已知得NP為DM的垂直平分線，|ND|=|NM|，|CN|+|ND|=2

2

＞2，由此能求了軌跡E的方程．
（Ⅱ）法一：設(shè)直線AB的方程為y=kx+m，由

y=kx+m x2 2 +y2=1

，得（1+2k²）x²+4kmx+2m²-2=0．由此利用根的判別式、韋達定理、弦長公式、點到直線的距離公式，結(jié)合已知條件能求出△AOB面積S的最大值．
（Ⅱ）法二：設(shè)直線AB的方程為y=kx+m，由

y=kx+m x2 2 +y2=1

，得（1+2k²）x²+4kmx+2m²-2=0．由此利用根的判別式、韋達定理、點到直線的距離公式，結(jié)合已知條件能求出△AOB面積S的最大值．

解答： （Ⅰ）解：因為

DM

=2

DP

，

NP

•

DM

=0，
所以NP為DM的垂直平分線，
所以|ND|=|NM|，又因為|CN|+|NM|=2

2

，
所以|CN|+|ND|=2

2

＞2…（4分）
所以動點N的軌跡是以點C（-1，0），D（1，0）為焦點的長軸為2

2

的橢圓．
所以軌跡E的方程為

x2

2

+y2=1．…（7分）
（Ⅱ）解法一：因為線段AB的長等于橢圓短軸的長，要使三點A、O、B能構(gòu)成三角形，
則弦AB不能與x軸垂直，故可設(shè)直線AB的方程為y=kx+m，
由

y=kx+m x2 2 +y2=1

，消去y，并整理，得（1+2k²）x²+4kmx+2m²-2=0．…（9分）
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），又△=16k²m²-4（1+2k²）（2m²-2）＞0，
所以x1+x2=-

4km

1+2k2

，x1x2=

2(m2-1)

1+2k2

…（10分）
因為|AB|=2，所以

(1+k2)(x2-x1)2

=2，即(1+k2)[(x2+x1)2-4x1x2]=4
所以(1+k2)[(-

4km

1+2k2

)2-

8(m2-1)

1+2k2

]=4，即

1

1+k2

=2(1-m2)，
因為1+k²≥1，所以

1

2

≤m2＜1． …（12分）
又點O到直線AB的距離h=

|m|

1+k2

，
因為S=

1

2

|AB|•h=h，
所以S²=h²=2m²（1-m²）=-2(m2-

1

2

)2+

1

2

…（14分）
所以0＜S2≤

1

2

，即S的最大值為

2

2

．…（15分）
（Ⅱ）解法二：因為線段AB的長等于橢圓短軸的長，要使三點A、O、B能構(gòu)成三角形，
則弦AB不能與x垂直，故可設(shè)直線AB的方程為y=kx+m，
由

y=kx+m x2 2 +y2=1

，消去y，并整理，得（1+2k²）x²+4kmx+2m²-2=0．
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），又△=16k²m²-4（1+2k²）（2m²-2）＞0，
所以x1+x2=-

4km

1+2k2

，x1x2=

2(m2-1)

1+2k2

．…（10分）
因為|AB|=2，所以

(1+k2)(x2-x1)2

=2．
因為(1+k2)[(x1+x2)2-4x1x2]=4，
所以(1+k2)[(-

4km

1+2k2

)2-

8(m2-1)

1+2k2

]=4，
所以m2=

2k2+1

2(1+k2)

，…（12分）
又點O到直線AB的距離h=

|m|

1+k2

，所以S=

1

2

|AB|•h=h．
所以S²=h²=

m2

1+k2

=

2k2+1

2(1+k2)2

=

1

1+k2

-

1

2(1+k2)2

．
設(shè)t=

1

1+k2

，則S2=-

1

2

t2+t(0＜t≤1)，…（14分）
所以0＜S2≤

1

2

，即S的最大值為

2

2

． …（15分）

點評：本題考查橢圓方程的求法，考查三有形面積的最大值的求法，解題時要注意根的判別式、韋達定理、弦長公式、點到直線的距離公式的合理運用．