Question

已知拋物線C：y²=2px（p＞0）經(jīng)過(guò)點(diǎn)（2，4），A，B為拋物線C上異于坐標(biāo)原點(diǎn)O的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且滿足

OA

•

OB

=0．
（Ⅰ）求拋物線C的方程；
（Ⅱ）求證：直線AB恒過(guò)定點(diǎn)（2p，0）；
（Ⅲ）若線段AB的中垂線經(jīng)過(guò)點(diǎn)（16，0），求線段AB的長(zhǎng)．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的綜合問(wèn)題

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問(wèn)題

分析：（Ⅰ）由拋物線C：y²=2px（p＞0）經(jīng)過(guò)點(diǎn)（2，4），能求出拋物線C的方程．
（Ⅱ）設(shè)A（

y12

2p

，y₁），B（

y22

2p

，y₂），則

y12y22

4p2

+y1y2=0，從而求出AB方程：y-y₁=

2p

y1+y2

（x-

y12

2p

），由此能證明AB過(guò)定點(diǎn)（2p，0）．
（Ⅲ）由（Ⅱ）知AB過(guò)點(diǎn)（8，0），線段AB的中垂線經(jīng)過(guò)點(diǎn)（16，0），從而AB垂直于x軸，由此能求出線段AB的長(zhǎng)．

解答： （Ⅰ）解：∵拋物線C：y²=2px（p＞0）經(jīng)過(guò)點(diǎn)（2，4），
∴4p=16，解得p=4，
∴拋物線C的方程為y²=8x．
（Ⅱ）證明：設(shè)A（

y12

2p

，y₁），B（

y22

2p

，y₂），
∵

OA

•

OB

=0，∴OA⊥OB，
∴

y12y22

4p2

+y1y2=0，
∴y₁y₂=-4p²，
k_AB=

y1-y2

y12 2p - y22 2p

=

2p

y1+y2

，
∴AB方程：y-y₁=

2p

y1+y2

（x-

y12

2p

）
當(dāng)y=0時(shí)，x=2p，
∴AB過(guò)定點(diǎn)（2p，0）．
（Ⅲ）解：由（Ⅱ）知AB過(guò)點(diǎn)（8，0），
∵線段AB的中垂線經(jīng)過(guò)點(diǎn)（16，0），
∴AB垂直于x軸，
∴x=8于y²=8x交于A，B兩點(diǎn)，
∴A（8，-8），B（8，8），
∴線段AB的長(zhǎng)為16．

點(diǎn)評(píng)：本題考查拋物線方程的求法，考查弦長(zhǎng)的求法，考查直線過(guò)定點(diǎn)的證明，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意函數(shù)與方程思想的合理運(yùn)用．