Question

已知數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和S_n=2n²+2n，數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和T_n=2-b_n
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}與{b_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）設(shè)c_n=a_nb_n，求數(shù)列{c_n}的前n項(xiàng)和A_n．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和

專(zhuān)題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）由

an= S1，n=1 Sn-Sn-1，n≥2

，求出a_n=4n．又當(dāng)≥2時(shí)，b_n=T_n-T_n-1=（2-b_n）-（2-b_n-1），從而得到數(shù)列{b_n}是等比數(shù)列，由此求出bn=(

1

2

)n-1．
（2）由C_n=a_nb_n=

4n

2n-1

，利用錯(cuò)位相減法能求出數(shù)列{c_n}的前n項(xiàng)和A_n．

解答： 解：（1）∵數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和S_n=2n²+2n，∴a₁=S₁=4，
當(dāng)n≥2時(shí)，a_n=S_n-S_n-1=（2n²+2n）-[2（n-1）²+2（n-1）]=4n，
∵n=1時(shí)也成立，
∴a_n=4n；
又當(dāng)≥2時(shí)，b_n=T_n-T_n-1=（2-b_n）-（2-b_n-1），
∴2b_n=b_n-1，
∴數(shù)列{b_n}是等比數(shù)列，其首項(xiàng)為1，公比為

1

2

，
∴bn=(

1

2

)n-1．
（2）C_n=a_nb_n=

4n

2n-1

．
∴A_n=4（

1

20

+

2

2

+

3

22

+…+

n

2n-1

），①?

1

2

An=4(

1

2

+

2

22

+

3

23

+…+

n

2n

)，?②
①-②得

1

2

An=4(

1

20

+

1

2

+

1

22

+…+

1

2n

-

n

2n

)
=4（2-

n+2

2n

）．
∴An=8(2-

n+2

2n

)=16-

n+2

2n-3

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列的通項(xiàng)公式的求法，考查數(shù)列的前n項(xiàng)的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意錯(cuò)位相減法的合理運(yùn)用．