Question

【題目】已知圓，圓內(nèi)一定點(diǎn)，動(dòng)圓過(guò)點(diǎn)且與圓內(nèi)切.記動(dòng)圓圓心的軌跡為.

（Ⅰ）求軌跡方程；

（II）過(guò)點(diǎn)的動(dòng)直線(xiàn)l交軌跡于M，N兩點(diǎn)，試問(wèn)：在坐標(biāo)平面上是否存在一個(gè)定點(diǎn)Q，使得以線(xiàn)段MN為直徑的圓恒過(guò)點(diǎn)Q？若存在，求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

Answer 1

【答案】(I) ；(II)存在，恒過(guò)點(diǎn)Q(0，1).

【解析】

（Ⅰ）由題意可知：，P點(diǎn)軌跡是以A、B為焦點(diǎn)的橢圓，即可求得橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（Ⅱ）利用特例先確定定點(diǎn)Q，再推廣到一般情況即可.

解:（Ⅰ）解：設(shè)動(dòng)圓圓心，半徑為.

，

故點(diǎn)的軌跡為橢圓，

，

，

故圓心的軌跡方程為

(II)當(dāng)l與x軸平行時(shí)，以線(xiàn)段MN為直徑的圓的方程為x2＋＝；

當(dāng)l與y軸平行時(shí)，以線(xiàn)段MN為直徑的圓的方程為x2＋y2＝1.

由得

故若存在定點(diǎn)Q，則Q的坐標(biāo)只可能為Q(0，1).

下面證明Q(0，1)為所求：

若直線(xiàn)l的斜率不存在，上述已經(jīng)證明.

若直線(xiàn)l的斜率存在，設(shè)直線(xiàn)l：y＝kx－，

M(x1，y1)，N(x2，y2)，

由得(9＋18k2)x2－12kx－16＝0，

Δ＝144k2＋64(9＋18k2)＞0，

x1＋x2＝，x1x2＝，

＝(x1，y1－1)，＝(x2，y2－1)，

＝x1x2＋(y1－1)(y2－1)

＝(1＋k2)x1x2－(x1＋x2)＋

＝(1＋k2)·－·＋＝0，

∴⊥，即以線(xiàn)段MN為直徑的圓恒過(guò)點(diǎn)Q(0，1).