已知三次函數(shù)f（x）的導函數(shù)f′（x）=3x2-3ax，f（0）=b，（a、b實數(shù)）．若f（x）在區(qū)間[-1，1]上的最小值、最大值分別為-2，1，且1＜a＜2，求函數(shù)f（x）的解析式．
∵f′（x）=3x2-3ax，f（0）=b，
∴f（x）=x3-
3
2
ax2+b，
由f′（x）=3x（x-a）=0，得x1=0，x2=a，
∵x∈[-1，1]，1＜a＜2，
∴當x∈[-1，0）時，f′（x）＞0，f（x）遞增；當x∈（0，1]時，f′（x）＜0，f（x）遞減．
∴f（x）在區(qū)間[-1，1]上的最大值為f（0），
∵f（0）=b，∴b=1，
∵f（1）=1-
3
2
a+1=2-
3
2
a，f（-1）=-1-
3
2
a+1=-
3
2
a，
∴f（-1）＜f（1），
∴f（-1）是函數(shù)f（x）的最小值，
∴-
3
2
a=-2，∴a=
4
3
，
∴f（x）=x3-2x2+1．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

已知函數(shù)f（x）=x3-x2-x．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）在點（2，2）處的切線方程；
（Ⅱ）求函數(shù)f（x）的極大值和極小值．

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曲線y=x3+1在x=0處的切線的斜率是（　�。�
A．-1B．0C．
1
2
D．1

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某廠生產(chǎn)產(chǎn)品x件的總成本c（x）=
1
12
x3（萬元），已知產(chǎn)品單價P（萬元）與產(chǎn)品件數(shù)x滿足：P2=
k
x
，生產(chǎn)1件這樣的產(chǎn)品單價為16萬元．
（1）設產(chǎn)量為x件時，總利潤為L（x）（萬元），求L（x）的解析式；
（2）產(chǎn)量x定為多少件時總利潤L（x）（萬元）最大？

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

已知函數(shù)f（x）=ax+blnx．
（1）當x=2時f（x）取得極小值2-2ln2，求a，b的值；
（2）當b=-1時，若在區(qū)間（0，e]上至少存在一點x0，使得f（x0）＜0成立，求實數(shù)a的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

已知函數(shù)f(x)=xlnx，g(x)=
x
ex
-
2
e
．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的最小值；
（Ⅱ）證明：對任意m，n∈（0，+∞），都有f（m）≥g（n）成立．

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

已知函數(shù)f（x）=
1
3
x3+
1-a
2
x2-ax-a，x∈R，其中a＞0．
（1）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）若函數(shù)f（x）在區(qū)間（-2，0）內(nèi)恰有兩個零點，求a的取值范圍；
（3）當a=1時，設函數(shù)f（x）在區(qū)間[t，t+3]上的最大值為M（t），最小值為m（t）．記g（t）=M（t）-m（t），求函數(shù)g（t）在區(qū)間[-3，-1]上的最小值．

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

已知一塊半徑為r的殘缺的半圓形材料ABC，O為半圓的圓心，OC=
1
2
r，殘缺部分位于過點C的豎直線的右側．現(xiàn)要在這塊材料上截出一個直角三角形，有兩種設計方案：如圖甲，以BC為斜邊；如圖乙，直角頂點E在線段OC上，且另一個頂點D在
AB
上．要使截出的直角三角形的面積最大，應該選擇哪一種方案？請說明理由，并求出截得直角三角形面積的最大值．

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

已知函數(shù)f（x）=x2+xsinx+cosx．
（1）求f（x）的最小值；
（2）若曲線y=f（x）在點（a，f（a））處與直線y=b相切，求a與b的值．

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