Question

正方體AC₁中AB=2，E為BB₁的中點(diǎn)．
（1）請(qǐng)?jiān)诰�段DD₁上確定一點(diǎn)F使A，E，C₁，F(xiàn)四點(diǎn)共面，并加以證明；
（2）求二面角C-AC₁-E的平面角α的余弦值；
（3）點(diǎn)M在面ABCD內(nèi)，且點(diǎn)M在平面AEC₁F上的射影恰為△AEC₁的重心，求異面直線AC與MC₁所成角的余弦值．

Answer 1

考點(diǎn)：二面角的平面角及求法,異面直線及其所成的角

專題：空間角

分析：（1）當(dāng)F是線段DD₁的中點(diǎn)時(shí)，A，E，C₁，F(xiàn)四點(diǎn)共面．由C₁F∥AE，能證明A，E，C₁，F(xiàn)四點(diǎn)共面．
（2）以D為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系D-xyz，利用向量法能求出二面角C-AC₁-E的平面角α的余弦值為0．
（3）設(shè)M（a，b，0），求出△AEC₁的重心G（

4

3

，

4

3

，1），由此求出M（

5

6

，

11

6

，0），從而能求出異面直線AC與MC₁所成角的余弦值．

解答： 解：（1）當(dāng)F是線段DD₁的中點(diǎn)時(shí)，A，E，C₁，F(xiàn)四點(diǎn)共面．
證明：∵F是線段DD₁的中點(diǎn)，E為BB₁的中點(diǎn)，
∴C₁F∥AE，且C₁F=AE，
∴A，E，C₁，F(xiàn)四點(diǎn)共面．
（2）以D為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系D-xyz，
則由題意知A（2，0，0），C（0，2，0），
C₁（0，2，2），E（2，2，1），

AC

=(-2，2，0)，

AC1

=（-2，2，2），

AE

=(0，2，1)，
設(shè)平面ACC₁的法向量

n

=(x，y，z)，
則

n • AC =-2x+2y=0 n • AC1 =-2x+2y+2z=0

，
取x=1，得

n

=(1，1，0)，
設(shè)平面AEC₁的法向量

m

=(x1，y1，z1)，
則

m • AE =2y1+z1=0 m • AC1 =-2x1+2y1+2z1=0

，
取y₁=1，得

m

=（-1，1，-2）
∴cosα=cos＜

m

，

n

＞=

-1+1+0

2 • 6

=0．
∴二面角C-AC₁-E的平面角α的余弦值為0．
（3）設(shè)M（a，b，0），
∵A（2，0，0），C₁（0，2，2），E（2，2，1），
∴△AEC₁的重心G（

4

3

，

4

3

，1），
∴

MG

=（

4

3

-a，

4

3

-b，1），
∵

AC1

=（-2，2，2），

AE

=(0，2，1)，
∴

AC1 • MG =-2( 4 3 -a)+2( 4 3 -b)+2=0 AE • MG =2( 4 3 -b)+1=0

，
解得a=

5

6

，b=

11

6

，
∴M（

5

6

，

11

6

，0）．

MC1

=（

5

6

，-

1

6

，-2），
設(shè)異面直線AC與MC₁所成角為θ，
則cosθ=|cos＜

AC

，

MC1

＞|=|

- 5 3 - 1 3

8 • 85 18

|=

3 85

85

．
∴異面直線AC與MC₁所成角的余弦值為

3 85

85

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查滿足條件的點(diǎn)的位置的判斷與證明，考查二面角的余弦值的求法，考查兩條異面直線的余弦值的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意向量法的合理運(yùn)用．