Question

已知函數(shù)f（x）=

x2+2x+a，x＜0 lnx，x＞0

．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）證明：曲線f（x）與g（x）=

2x-1

-

1

2

沒有公共點(diǎn)；
（Ⅲ）設(shè)A（x₁，f（x₁）），B（x₂，f（x₂））為曲線f（x）上的兩點(diǎn)，且x₁＜x₂，若曲線f（x）在點(diǎn)A、B處的切線重合，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（Ⅰ） 由二次函數(shù)和對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性可得；（Ⅱ） 由定義域可得f（x）=lnx，令h（x）=g（x）-f（x），求導(dǎo)函數(shù)可判h（x）=g（x）-f（x）在[

1

2

，+∞)上是增函數(shù)，可得g（x）＞f（x），即可得結(jié)論；（Ⅲ）可得x₁＜0＜x₂，寫出切線，可得a=

x

2 1

+ln

1

2x1+2

-1=

x

2 1

-ln(2x1+2)-1，設(shè)h(x1)=

x

2 1

-ln(2x1+2)-1（-1＜x₁＜0），導(dǎo)數(shù)法可得范圍．

解答： 解：（Ⅰ）∵二次函數(shù)y=x²+2x+a對稱軸為x=-1，圖象開口向上，
∴二次函數(shù)y=x²+2x+a在（-∞，-1）上單調(diào)遞減，在[-1，0）上單調(diào)遞增，
由對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)可知y=lnx在（0，+∞）上單調(diào)遞增，
∴函數(shù)f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間為（-∞，-1），單調(diào)遞增區(qū)間為[-1，0）和（0，+∞）；
（Ⅱ） 由g（x）有意義知x≥

1

2

，∴f（x）=lnx，
令h（x）=g（x）-f（x），求導(dǎo)函數(shù)可得h′(x)=

1

2x-1

-

1

x

，
∵

1

2x-1

≥

1

x

?x≥

2x-1

?x2≥2x-1?(x-1)2≥0成立，
∴

1

2x-1

≥

1

x

成立，∴h′（x）≥0，即h（x）=g（x）-f（x）在[

1

2

，+∞)上是增函數(shù)，
∴h(x)min=h(

1

2

)=-

1

2

-ln

1

2

=ln2-

1

2

＞ln

e

-

1

2

=0，
∴g（x）＞f（x），即函數(shù)f（x）與g（x）=

2x-1

-

1

2

沒有公共點(diǎn)；
（Ⅲ）當(dāng)x₁＜x₂＜0或x₂＞x₁＞0時，f′（x₁）≠f′（x₂），故x₁＜0＜x₂．
當(dāng)x₁＜0時，函數(shù)f（x）的圖象在點(diǎn)（x₁，f（x₁））處的切線方程為y-(

x

2 1

+2x1+a)=(2x1+2)(x-x1)，即y=(2x1+2)x-

x

2 1

+a．
當(dāng)x₂＞0時，函數(shù)f（x）的圖象在點(diǎn)（x₂，f（x₂））處的切線方程為y-lnx2=

1

x2

(x-x2)，即y=

1

x2

•x+lnx2-1，
兩切線重合的充要條件是

1 x2 =2x1+2，(1) lnx2-1=- x 2 1 +a，(2)

，由（1）及x₁＜0＜x₂，知-1＜x₁＜0．
由（1）（2）得a=

x

2 1

+ln

1

2x1+2

-1=

x

2 1

-ln(2x1+2)-1．
設(shè)h(x1)=

x

2 1

-ln(2x1+2)-1（-1＜x₁＜0），則h′(x1)=2x1-

1

x1+1

＜0．
∴h（x₁）（-1＜x₁＜0）是減函數(shù)，∴h（x₁）＞h（0）=-ln2-1，∴a＞-ln2-1．
又當(dāng)x₁∈（-1，0）且趨近于-1時，h（x₁）無限增大，∴a的取值范圍是（-ln2-1，+∞）．
故當(dāng)函數(shù)f（x）的圖象在點(diǎn)A、B處的切線重合時，a的取值范圍是（-ln2-1，+∞）．

點(diǎn)評：本題考查函數(shù)的單調(diào)性，以及導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用和切線問題，涉及分類討論的思想，屬難題．