Question

已知函數(shù)f(x)=

ex

ax+b

，（a，b為常數(shù)，e是自然對數(shù)的底數(shù)）在x=1處的切線方程為y=

e

4

(x+1)．
（1）求a，b的值，并求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）當(dāng)x₁≠x₂，f（x₁）=f（x₂）時，證明：x₁+x₂＞0．

Answer 1

考點：指數(shù)函數(shù)綜合題

專題：綜合題,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）由條件知函數(shù)f（x）過點(1，

e

2

)，所以：a+b=2，對f（x）求導(dǎo)數(shù)，利用在x=1處的切線方程為y=

e

4

(x+1)，求得a，b的值，可得函數(shù)解析式，利用導(dǎo)數(shù)的正負(fù)，可得函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）證明f（x）在（-1，0）為減函數(shù)，在（0，+∞）為增函數(shù)，若f（x₁）=f（x₂），x₁≠x₂，則必有x₁，x₂∈（-1，+∞），不妨設(shè)x₁∈（-1，0），x₂∈（0，+∞）．證x₁+x₂＞0，即證x₂＞-x₁＞0，只需證：f（x₂）＞f（-x₁）．

解答： （1）解：由條件知函數(shù)f（x）過點(1，

e

2

)，所以：a+b=2------①
對f（x）求導(dǎo)數(shù)：f′(x)=

ex(ax+b-a)

(ax+b)2

，f′(1)=

eb

(a+b)2

=

e

4

------②
由①、②解得：a=1，b=1．
故：f′(x)=

xex

(x+1)2

，x≠-1
令f'（x）＞0得：x＞0，令f'（x）＜0得：x＜0，x≠-1
所以函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間為（0，+∞），單調(diào)減區(qū)間為（-∞，-1），（-1，0）．--------（6分）
（2）證明：由（1）知，當(dāng)x∈（-∞，-1）時，f（x）＜0；當(dāng)x∈（-1，+∞）時，f（x）＞0，
則f（x）在（-1，0）為減函數(shù)，在（0，+∞）為增函數(shù)，
若f（x₁）=f（x₂），x₁≠x₂，則必有x₁，x₂∈（-1，+∞），不妨設(shè)x₁∈（-1，0），x₂∈（0，+∞）．
若證x₁+x₂＞0，即證x₂＞-x₁＞0，只需證：f（x₂）＞f（-x₁）
即：f（x₁）＞f（-x₁），設(shè)g（x）=f（x）-f（-x），x∈（-1，0），
即g(x)=

ex

x+1

-

e-x

1-x

＞0在x∈（-1，0）上恒成立，即（1-x）e^2x-（1+x）＞0
設(shè)h（x）=（1-x）e^2x-（1+x），x∈（-1，0）h'（x）=e^2x（1-2x）-1，（h'（x））'=-4xe^2x＞0
∴h'（x）是（-1，0）上的增函數(shù)，故h'（x）＜h'（0）=0
∴h（x）是（-1，0）上是減函數(shù)，故h（x）＞h（0）=0，所以原命題成立．---------（12分）

點評：本題考查導(dǎo)數(shù)知識的運用，考查函數(shù)的單調(diào)性，考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．