Question

已知定義域?yàn)镽的函數(shù)f（x）為奇函數(shù)，且滿足f（x+4）=f（x），當(dāng)x∈[0，1]時(shí)，f（x）=2^x-1．
（1）求f（x）在[-1，0）上的解析式；
（2）求f（log

1

2

24）的值．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)的周期性,抽象函數(shù)及其應(yīng)用

專題：計(jì)算題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）令x∈[-1，0），則-x∈（0，1]，運(yùn)用已知表達(dá)式，以及奇函數(shù)的定義，即可得到所求表達(dá)式；
（2）由f（x+4）=f（x），則f（x）是以4為周期的周期函數(shù)，將f（log

1

2

24）的自變量運(yùn)用周期轉(zhuǎn)化到（-1，0）的區(qū)間，再代入，即可得到所求值．

解答： 解：（1）令x∈[-1，0），
則-x∈（0，1]，
∴f（-x）=2^-x-1．
又∵f（x）是奇函數(shù)，∴f（-x）=-f（x），
∴-f（x）=f（-x）=2^-x-1，
∴f(x)=-(

1

2

)x+1，x∈[-1，0)．
（2）∵f（x+4）=f（x），∴f（x）是以4為周期的周期函數(shù)，
∴log

1

2

24=-log224∈(-5，-4)，
∴log

1

2

24+4∈(-1，0)，
∴f(log

1

2

24)=f(log

1

2

24+4)=-(

1

2

)log

1

2

24+4+1=-24×

1

16

+1=-

1

2

．

點(diǎn)評：本題考查函數(shù)的奇偶性及運(yùn)用：求解析式，考查函數(shù)的周期性及運(yùn)用：求函數(shù)值，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．