Question

已知數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，數(shù)列{S_n+1}是公比為2的等比數(shù)列，a₂是a₁和a₁=S₁=4的等比中項(xiàng)．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）求數(shù)列{na_n}的前n項(xiàng)和T_n（n∈N^*）．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和,等比數(shù)列的通項(xiàng)公式

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）由已知得S_n=（a₁+1）•2^n-1-1，從而a₁•（2a₁+2），由此能求出a_n=2^n-1．
（2）由nan=n•2n-1，由此利用錯(cuò)位相減法能求出數(shù)列的前n項(xiàng)和．

解答： 解：（1）∵{S_n+1}是公比為2的等比數(shù)列，
∴Sn+1=(S1+1)•2n-1=（a₁+1）•2^n-1，
∴S_n=（a₁+1）•2^n-1-1，（2分）
從而a₂=S₂-S₁=a₁+1，
a₃=S₃-S₂=2a₁+2，
∵a₂是a₁和a₃的等比中項(xiàng)，∴a₁•（2a₁+2），
解得a₁=1或a₁=-1，（4分）
當(dāng)a₁=-1時(shí)，）S₁+1=0{S_n+1}是等比數(shù)列，
∴a₁=-1．∴S_n=2ⁿ-1，
an=Sn-Sn-1=2n-1，
∵a₁=1符合a_n=2^n-1
a_n=2^n-1．（6分）
（2）∵nan=n•2n-1，
∴Tn=1×20+2×21+3×22+…+n•2n-1，2Tn=1×21+2×22+3×23+…+n•2n，
兩式相減，得-Tn=1+2+22+…+2n-1-n•2n=

1-2n

1-2

-n•2n=(1-n)•2n-1，（10分）
∴Tn=(n-1)•2n+1．（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列的通項(xiàng)公式的求法，考查數(shù)列的前n項(xiàng)和的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意錯(cuò)位相減法的合理運(yùn)用．