Question

在棱長(zhǎng)為1的正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中．
（1）求證：AC⊥平面B₁ BDD₁
（2）求二面角A-B₁D₁-A₁的正切值．

Answer 1

考點(diǎn)：二面角的平面角及求法,直線與平面垂直的判定

專(zhuān)題：空間位置關(guān)系與距離,空間角

分析：（1）要證AC⊥平面B₁BDD₁，只需證明AC垂直平面B₁BD₁D上的兩條相交直線DD₁，BD；即可．
（2）先找二面角A-B₁D₁-A₁的平面角，在△A₁OA中，∠A₁OA即為二面角A₁-BD-A的平面角，解三角形可得答案．

解答： 證明：（1）∵DD₁⊥面ABCD，AC?面ABCD，
∴AC⊥DD₁（2分）
又∵BD⊥AC，（3分）
且DD₁，BD是平面B₁BD₁D上的兩條相交直線（5分）
∴AC⊥平面B₁BDD₁（6分）
解：（2）連接A₁C₁交B₁D₁與點(diǎn)O如圖所示，

因?yàn)锳A₁⊥B₁D₁，A₁C₁⊥B₁D₁，
所以∠A₁OA即為二面角A-B₁D₁-A₁的平面角，
在△A₁OA中，AA₁=1，A₁O=

2

2

，
所以二面角A₁-BD-A的正切值為

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是二面角的平面角及求法，直線與平面垂直的判定，難度中檔．