Question

已知圓C的圓心為原點(diǎn)O，且與直線x+y+4

2

=0相切．
（1）求圓C的方程；
（2）點(diǎn)P在直線x=8上，過P點(diǎn)引圓C的兩條切線PA，PB，切點(diǎn)為A，B，求證：直線AB恒過定點(diǎn)．

Answer 1

（本小題滿分14分）
（1）依題意得：圓心（0，0）到直線x+y+4

2

=0的距離d=r，
∴d=r=

4 2

1+1

=4，---（2分）
所以圓C的方程為x²+y²=16①；-----（4分）
（2）連接OA，OB，
∵PA，PB是圓C的兩條切線，
∴OA⊥AP，OB⊥BP，------（5分）
∴A，B在以O(shè)P為直徑的圓上，-------（6分）
設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（8，b），b∈R，
則線段OP的中點(diǎn)坐標(biāo)為(4，

b

2

)，------（8分）
∴以O(shè)P為直徑的圓方程為(x-4)2+(y-

b

2

)2=42+(

b

2

)2，b∈R，-----（10分）
化簡得：x²+y²-8x-by=0②，b∈R，------（11分）
∵AB為兩圓的公共弦，
∴①-②得：直線AB的方程為8x+by=16，b∈R，即8（x-2）+by=0，------（13分）
則直線AB恒過定點(diǎn)（2，0）．-------（14分）