【題目】已知函數(shù)(a<0).
(Ⅰ)當a=-3時,求f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間;
(Ⅱ)若函數(shù)f(x)有且僅有一個零點,求實數(shù)a的取值范圍;
【答案】(1) 單調(diào)遞減區(qū)間為(-3,-2)和(0,+∞);(2) a<0.
【解析】試題分析:(1)解關于導函數(shù)的不等式,得到所求的單調(diào)減區(qū)間;(2)函數(shù)f(x)有且僅有一個零點,即函數(shù)圖象與x軸有唯一的公共點,利用導函數(shù)研究函數(shù)圖象走勢即可.
試題解析:
(Ⅰ)∵a=-3,∴,故
令f′(x)<0,解得-3<x<-2或x>0,
即所求的單調(diào)遞減區(qū)間為(-3,-2)和(0,+∞)
(Ⅱ)∵(x>a)
令f′(x)=0,得x=0或x=a+1
(1)當a+1>0,即-1<a<0時,f(x)在(a,0)和(a+1,+∞)上為減函數(shù),在(0,a+1)上為增函數(shù).
由于f(0)=aln(-a)>0,當x→a時,f(x)→+∞.
當x→+∞時,f(x)→-∞,于是可得函數(shù)f(x)圖像的草圖如圖,
此時函數(shù)f(x)有且僅有一個零點.
即當-1<a<0對,f(x)有且僅有一個零點;
(2)當a=-1時,,
∵,∴f(x)在(a,+∞)單調(diào)遞減,
又當x→-1時,f(x)→+∞.當x→+∞時,f(x)→-∞,
故函數(shù)f(x)有且僅有一個零點;
(3)當a+1<0即a<-1時,f(x)在(a,a+1)和(0,+∞)上為減函數(shù),在(a+1,0)上為增函數(shù).又f(0)=aln(-a)<0,當x→a時,f(x)→+∞,當x→+∞時,f(x)→-∞,于是可得函數(shù)f(x)圖像的草圖如圖,此時函數(shù)f(x)有且僅有一個零點;
綜上所述,所求的范圍是a<0.
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【題目】祖暅原理:“冪勢既同,則積不容異”.它是中國古代一個涉及幾何體體積的問題,意思是兩個同高的幾何體,如在等高處的截面積恒相等,則體積相等.設為兩個同高的幾何體,的體積不相等,在等高處的截面積不恒相等,根據(jù)祖暅原理可知,是的( )
A. 充分不必要條件 B. 必要不充分條件
C. 充要條件 D. 既不充分也不必要條件
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【題目】已知函數(shù)
(Ⅰ)設,若的圖象與x軸恰有兩個不同的交點,求實數(shù)a的取值集合.
(Ⅱ)求函數(shù)在區(qū)間上的最大值.
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【題目】已知函數(shù).
(1)將函數(shù)的圖像向右平移個單位得到函數(shù)的圖像,若,求函數(shù)的值域;
(2)已知,分別為中角的對邊,且滿足,求的面積.
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【題目】某商場經(jīng)營一批進價為30元/件的商品,在市場試銷中發(fā)現(xiàn),此商品的銷售單價x元與日銷售量y件之間有如下所表示的關系.
x | … | 30 | 40 | 45 | 50 | … |
y | … | 60 | 30 | 15 | 0 | … |
(1)在所給的坐標系中,如圖,根據(jù)表格提供的數(shù)據(jù)描出實數(shù)對(x,y)的對應點,并確定y與x的一個函數(shù)關系式y=f(x);
(2)設經(jīng)營此商品的日銷售利潤為P元,根據(jù)上述關系,寫出P關于x的函數(shù)關系式,并指出銷售單價x為多少時,才能獲得最大日銷售利潤?
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【題目】已知函數(shù),其中
(1)當時,求函數(shù)在上的值域;
(2)若函數(shù)在上的最小值為3,求實數(shù)的取值范圍.
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【題目】已知函數(shù) , .
(1)若存在極值點1,求的值;
(2)若存在兩個不同的零點,求證: (為自然對數(shù)的底數(shù), ).
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【題目】如圖,直三棱柱ABC-A1B1C1中, AB=AC=AA1,AB⊥AC,M是CC1的中點,N是BC的中點,點P在線段A1B1上運動.
(Ⅰ)求證:PN⊥AM;
(Ⅱ)試確定點P的位置,使直線PN和平面ABC所成的角
最大.
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