Question

【題目】已知函數(shù)f(x)=(x-3)ex+ax,aR

(1)當a=1時,求曲線f(x)在點(2,f(2))處的切線方程；

(2)當a[0,e)時,設(shè)函數(shù)f(x)在(1,+)上的最小值為g(a),求函數(shù)g(a)的值域．

Answer 1

【答案】(Ⅰ) ；（Ⅱ） ．

【解析】試題分析：（1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，計算 ，求出切線方程即可；（2）設(shè) ，得到 在 上有唯一零點， 根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出 ，從而求出的值域即可.

試題解析: 由題意得,

(Ⅰ)當時, ,所以,

又因為,

則所求的切線方程為,即．

（Ⅱ）設(shè),則對于成立,

所以在上是增函數(shù),又因為,則, ,

所以在上有唯一零點（）．

則函數(shù)在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增,

因此當時,函數(shù)在上的最小值為．

因為,則,當時,有．

所以函數(shù)有最小值,

令（）,

則在上恒成立,所以在上單調(diào)遞減,

因為, ,所以的值域為,

所以的值域為．

【方法點晴】本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)求曲線切線以及利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，屬于難題.求曲線切線方程的一般步驟是：（1）求出在處的導(dǎo)數(shù)，即在點出的切線斜率（當曲線在處的切線與軸平行時，在 處導(dǎo)數(shù)不存在，切線方程為）；（2）由點斜式求得切線方程.