Question

6．已知函數(shù)f（x）滿足$f（x）=4f（{\frac{1}{x}}）$，當(dāng)$x∈[{\frac{1}{4}，1}]$時，f（x）=lnx，若在$[{\frac{1}{4}，4}]$上，方程f（x）=kx有三個不同的實根，則實數(shù)k的取值范圍是（　�。�

• A． $[{-4ln4，-\frac{4}{e}}]$
• B． [-4ln4，-ln4]
• C． $[{-\frac{4}{e}，-ln4}]$
• D． $（{-\frac{4}{e}，-ln4}]$

Answer 1

分析 根據(jù)函數(shù)，求出x在$[{\frac{1}{4}，4}]$上的解析式，已知在區(qū)間$[{\frac{1}{4}，4}]$上內(nèi)，函函數(shù)g（x）=f（x）-ax，有三個不同的零點⇒）y=f（x）與y=ax的圖象有三個交點，結(jié)合圖象，求出a的范圍．

解答 解：x∈$[{\frac{1}{4}，4}]$時f（x）=lnx，當(dāng)x∈[1，4]時，f（x）=-4lnx．
函數(shù)g（x）=f（x）-ax，有三個不同的零點⇒）y=f（x）與y=ax的圖象有三個交點．
由圖象可知y=kx過點（4．-4ln4）時有三個交點，此時k=-ln4，當(dāng)y=kx與y=-4lnx （x＞1）相切時，設(shè)切點P（a，-4lna）．y′=$\frac{-4}{x}$，
∴過點P的切線方程為：y+4lna=$\frac{-4}{a}（x-a）$．過點P的切線過點O（0，0），代入y+4lna=$\frac{-4}{a}（x-a）$⇒a=e．
此時切線的斜率k=-$\frac{4}{e}$，∴要使函數(shù)g（x）=f（x）-ax，有三個不同的零點，則$\frac{-4}{e}＜k≤-ln4$．
故選：D．

點評 本題考查了函數(shù)與方程的思想，是必須掌握的一種技巧，屬于中檔題．