Question

已知函數(shù)f（x）=x³+ax²+bx+c，曲線y=f（x）上點P（1，f（1））處的切線方程為3x-y+1=0．
（1）若y=f（x）在x=-2時有極值，求y=f（x）的表達(dá)式；
（2）在（1）的條件下求y=f（x）在[-3，2]上的最值及相應(yīng)的x的值．

Answer 1

考點：利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值,利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點切線方程

專題：計算題,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）由題意知，f（1）=4，f'（1）=3，f'（-2）=0，從而解出參數(shù)值，從而得y=f（x）的表達(dá)式；
（2）令f′（x）=3x²+4x-4=0，解出極值點，代入求極值與端點的函數(shù)值，從而求最值及相應(yīng)的x的值．

解答： 解：（1）f（x）=x³+ax²+bx+c，f′（x）=3x²+2ax+b，
∵曲線y=f（x）上點P（1，f（1））處的切線方程為3x-y+1=0，且y=f（x）在x=-2時有極值；
∴

1+a+b+c=3+1 3+2a+b=3 3×(-2)2-4a+b=0

，
解得，a=2，b=-4，c=5；
則y=f（x）=x³+2x²-4x+5；
（2）由（1）知，f（x）=x³+2x²-4x+5，
f′（x）=3x²+4x-4，
令f′（x）=0解得，x=-2或x=

2

3

，
又∵x∈[-3，2]，
且f（-2）=13，f（

2

3

）=

95

27

，f（-3）=8，f（2）=13；
∴當(dāng)x=±2時，f（x）取得最大值13；
當(dāng)x=

2

3

進(jìn)，f（x）取得最小值

95

27

．

點評：本題考查了導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用及導(dǎo)數(shù)的幾何意義，同時考查了在閉區(qū)間上的最值問題，屬于中檔題．