Question

7．如圖，直三棱柱（側棱垂直于底面）ABC-A₁B₁C₁中，CA=CB=$\frac{1}{2}$CC₁，點D是棱AA₁的中點，且C₁D⊥BD
（1）求證：CA⊥CB
（2）求直線CD與平面C₁BD所成角的正弦值．

Answer 1

分析 （1）證明BC⊥平面ACC₁D₁，即可證明：CA⊥CB
（2）建立空間直角坐標系，利用向量方法求直線CD與平面C₁BD所成角的正弦值．

解答 （1）證明：∵四邊形ACC₁A₁為矩形  且D是棱AA₁的中點
∴C₁D⊥CD，
又C₁D⊥BD且BD∩CD=D，∴C₁D⊥平面BCD …（3分）
∵BC?平面BCD，∴C₁D⊥BC
 又∵BC⊥CC₁，且CC₁∩C₁D=C₁，
∴BC⊥平面ACC₁D₁，
∵AC?平面ACC₁D₁，
∴BC⊥AC；         …（6分）
（2）解：由（1）知：CA，CB，CC₁兩兩相互垂直，
以CA，CB，CC₁分別為x，y，z軸的正半軸建立空間直角坐標系，
設CA=CB=1，則C（0，0，0），D（1，0，1），B（0，1，0），C₁（0，0，2）…（8分）
設平面C₁BD的法向量為$\overrightarrow{m}$=（x，y，z），$\overrightarrow{BD}$=（1，-1，1），$\overrightarrow{{C}_{1}D}$=（1，0，-1）
∴$\left\{\begin{array}{l}{x-y+z=0}\\{x-z=0}\end{array}\right.$取x=1，得$\overrightarrow{m}$=（1，2，1）…（10分）
又$\overrightarrow{CD}$=（1，0，1）
設直線CD與平面C₁BD所成角為θ，
則sinθ=$\frac{2}{\sqrt{6}•\sqrt{2}}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，故直線CD與平面C₁BD所成角的正弦值為$\frac{\sqrt{3}}{3}$                  …（12分）

點評 本題考查空間直線與平面的位置關系，考查空間的線面角的求法，考查推理能力和空間向量法，及運算能力，屬于中檔題．