Question

已知雙曲線

x2

9

-

y2

7

=1與橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）有相同的焦點(diǎn)，點(diǎn)A，B分別是橢圓左右頂點(diǎn)，若橢圓過點(diǎn)D（

3

2

，

5 3

2

）．
（1）求橢圓方程；
（2）已知F是橢圓的右焦點(diǎn)，以AF為直徑的圓記為圓C，過D點(diǎn)引圓C的切線，試求切線方程；
（3）設(shè)M為橢圓右準(zhǔn)線上縱坐標(biāo)不為0的點(diǎn)，N（x0，y0）是圓C上的任意一點(diǎn)，是否存在定點(diǎn)P，使得MN/PN等于常數(shù)2，若存在，求出定點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：計(jì)算題,圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（1）由題意易知c=4，故可得

a2=b2+c2 c=4 9 4a2 + 75 4b2 =1

，從而解橢圓的方程；
（2）寫出F（4，0），A（-6，0），圓C的方程為：（x+1）²+y²=25，易知點(diǎn)D （

3

2

，

5 3

2

）在圓C上，從而求切線方程；
（3）橢圓右準(zhǔn)線方程為x=

a2

c

=9，故M（9，d），N（-1+5cosα，5sinα），P（m，n）；則由

MN

PN

=2得（10-5cosα）²+（5sinα-d）²=4[（-m-1+5cosα）²+（5sinα-n）²]，化簡可得

40(m+1)-100=0 40n-10d=0 d2+25-4(m+1)2-4n2=0

，從而解出m，n，d．

解答： 解：（1）由題意，雙曲線

x2

9

-

y2

7

=1的左右焦點(diǎn)為（±4，0），
故c=4，
則可得

a2=b2+c2 c=4 9 4a2 + 75 4b2 =1

，
解得，a²=36，b²=20；
故橢圓方程為：

x2

36

+

y2

20

=1；
（2）F（4，0），A（-6，0），
故圓C的方程為：（x+1）²+y²=25，
易知點(diǎn)D （

3

2

，

5 3

2

）在圓C上，
k_CD=

5 2 3

3 2 +1

=

3

，
故切線的斜率k=-

3

3

，
故切線方程為y-

5 3

2

=-

3

3

（x-

3

2

），
化簡得，x+

3

y-9=0；
（3）橢圓右準(zhǔn)線方程為x=

a2

c

=9，
故M（9，d），N（-1+5cosα，5sinα），P（m，n）；
則由

MN

PN

=2得，
（10-5cosα）²+（5sinα-d）²=4[（-m-1+5cosα）²+（5sinα-n）²]，
化簡可得（40（m+1）-100）cosα+（40n-10d）sinα+d²+25-4（m+1）²-4n²=0，
則

40(m+1)-100=0 40n-10d=0 d2+25-4(m+1)2-4n2=0

，
解得，m=

3

2

，n=d=0；
這與題意M為橢圓右準(zhǔn)線上縱坐標(biāo)不為0的點(diǎn)相矛盾，
故假設(shè)不成立，
故不存在．

點(diǎn)評：本題考查了圓錐曲線的化簡與應(yīng)用，化簡很困難，屬于難題．