Question

設(shè)函數(shù)f（x）=（sinωx+cosωx）²+2cos²ωx（ω＞0）的最小正周期為

2π

3

．
（Ⅰ）求ω的值；       
（Ⅱ）求f（x）在區(qū)間[-

π

6

，

π

3

]上的值域；
（Ⅲ）若函數(shù)y=g（x）的圖象是由y=f（x）的圖象向右平移

π

2

個單位長度得到，求y=g（x）的單調(diào)增區(qū)間．

Answer 1

考點：三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用,函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換

專題：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：（Ⅰ）首先，化簡函數(shù)解析式，然后，根據(jù)周期公式確定ω的值；
（Ⅱ）結(jié)合正弦函數(shù)的性質(zhì)進行求解；
（Ⅲ）根據(jù)平移，得到g（x）=

2

sin[3（x-

π

2

）+

π

4

]+2=

2

sin（3x-

5π

4

）+2，然后，根據(jù)正弦函數(shù)的圖象進行求解．

解答： 解：（Ⅰ）f（x）=（sinωx+cosωx）²+2cos²ωx
=sin²ωx+cos²ωx+sin2ωx+1+cos2ωx…（2分）
=sin2ωx+cos2ωx+2
=

2

sin（2ωx+

π

4

）+2，
依題意得

2π

2ω

=

2π

3

，
故ω的值為

3

2

．       …（5分）
（Ⅱ）∵-

π

6

≤x≤

π

3

，
∴-

π

4

≤3x+

π

4

≤

5π

4

，…（6分
∴-1≤

2

sin(3x+

π

4

)≤

2

…（8分），
∴1≤f(x)≤2+

2

，
即f（x）的值域為[1，2+

2

]…（9分）
（Ⅲ）依題意得：g（x）=

2

sin[3（x-

π

2

）+

π

4

]+2
=

2

sin（3x-

5π

4

）+2    …（11分）
由2kπ-

π

2

≤3x-

5π

4

≤2kπ+

π

2

，k∈Z，…（12分）
解得

2

3

kπ+

π

4

≤x≤

2

3

kπ+

7π

12

，k∈Z，
故y=g（x）的單調(diào)增區(qū)間為：[

2

3

kπ+

π

4

，

2

3

kπ+

7π

12

]，（k∈Z），…（13分）

點評：本題重點考查了三角恒等變公式的應(yīng)用．換公式、三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)等知識，屬于中檔題，解題關(guān)鍵是準確理解三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)．