Question

已知變量t，y滿足關(guān)系式log_a

t

a3

=log_t

y

a3

（a＞0且a≠1，t＞0且t≠1），變量t，x滿足關(guān)系式log_at=x．
（1）求y關(guān)于x的函數(shù)表達(dá)式y(tǒng)=f（x）；
（2）若（1）中確定的函數(shù)y=f（x）在區(qū)間[2a，3a]上是單調(diào)函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：對數(shù)函數(shù)的圖像與性質(zhì),對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）由條件利用對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)求得y關(guān)于x的函數(shù)表達(dá)式y(tǒng)=f（x）．
（2）令x²-3x+3=t，則函數(shù)t的對稱軸為x=

3

2

，且 y=a^t．由題意可得

3

2

∉[2a，3a]，故有a＞0，a≠1，2a≥

3

2

，或 3a≤

3

2

，由此求得a的范圍．

解答： 解：（1）由log_a

t

a3

=log_t

y

a3

 可得 log_at-3=

logay-3

logat

，
再把log_at=x代入可得 x-3=

logay-3

x

，即 log_ay=x²-3x+3，即 y=ax2-3x+3 （x≠）．
（2）令x²-3x+3=t，則函數(shù)t的對稱軸為x=

3

2

，且 y=a^t．
由函數(shù)y=f（x）在區(qū)間[2a，3a]上是單調(diào)函數(shù)，可得

3

2

∉[2a，3a]，
∴a＞0，a≠1，2a≥

3

2

，或 3a≤

3

2

．
求得 0＜a≤

1

2

，或

3

4

≤a＜1，或 a＞1，即a的范圍為（0，

1

2

]∪[

3

4

，1）∪（1，+∞）．

點(diǎn)評：本題主要考查對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)、對數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)，復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想．