Question

 如圖,一顆棋子從三棱柱的一個頂點沿棱移到相鄰的另一個頂點的概率均為,剛開始時,棋子在上底面點A處,若移了n次后,棋子落在上底面頂點的概率記為pn.

(1) 求p1,p2的值;

(2) 求證:>.

Answer 1

(1) p1=,p2=×+×=.

(2) 因為移了n次后棋子落在上底面頂點的概率為pn,故落在下底面頂點的概率為1-pn.于是移了(n+1)次后棋子落在上底面頂點的概率為=pn+(1-pn)=pn+.

從而-=.

所以數(shù)列是等比數(shù)列,其首項為,公比為.

所以pn-=×,即pn=+×.

用數(shù)學歸納法證明:

①當n=1時,左式==,右式=,因為>,所以不等式成立.

當n=2時,左式=+=,右式=,因為>,所以不等式成立.

②假設n=k(k≥2)時,不等式成立,即>.

則n=k+1時,左式=+>+=+.

要證+≥,只要證≥-,

只要證≥,只要證≤,

只要證3k+1≥2k2+6k+2.

因為k≥2,

所以3k+1=3(1+2)k≥3(1+2k+4)=6k2+3=2k2+6k+2+2k(2k-3)+1>2k2+6k+2,

所以+≥.

即n=k+1時,不等式也成立.

由①②可知,不等式>對任意的n∈N*都成立.