Question

已知函數(shù)f（x）=e^x+2x²-3x
（Ⅰ）求曲線y=f（x）在點(diǎn)（1，f （1））處的切線方程；
（Ⅱ） 當(dāng)x≥1時(shí)，若關(guān)于x的不等式f （x）≥ax恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程,導(dǎo)數(shù)在最大值、最小值問(wèn)題中的應(yīng)用

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用,不等式的解法及應(yīng)用

分析：（Ⅰ）求出原函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，進(jìn)一步求得f′（1），再求出f（1）后由直線方程的點(diǎn)斜式得答案；
（Ⅱ）由f （x）≥ax，得ax≤e^x+2x²-3x，分離參數(shù)a后構(gòu)造函數(shù)g(x)=

ex+2x2-3x

x

，利用導(dǎo)數(shù)求其最小值后得答案．

解答： 解：（Ⅰ）由f（x）=e^x+2x²-3x，得
f'（x）=e^x+4x-3，則f′（1）=e+1，
又f （1）=e-1，
∴曲線y=f（x）在點(diǎn)（1，f （1））處的切線方程為：
y-e+1=（e+1）（x-1），
即：（e+1）x-y-2=0；
（Ⅱ）由f （x）≥ax，得ax≤e^x+2x²-3x，
∵x≥1，
∴a≤

ex+2x2-3x

x

令g(x)=

ex+2x2-3x

x

，則g′(x)=

(x-1)ex+2x2

x2

，
∵x≥1，
∴g'（x）＞0，
∴g（x）在[1，+∞）上是增函數(shù)，
∴g（x）_min=g（1）=e-1，
∴a的取值范圍是a≤e-1．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究過(guò)曲線上某點(diǎn)的切線方程，考查了利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最小值，訓(xùn)練了分離變量法求參數(shù)的取值范圍，是中檔題．