Question

設(shè)點(diǎn)C在線段AB上（端點(diǎn)除外），若C分AB的比λ=

AC

CB

，則得分點(diǎn)C的坐標(biāo)公式

xC= xA+λxB 1+λ yC= yA+λyB 1+λ

．如圖所示，對(duì)于函數(shù)f（x）=x²（x＞0）上任意兩點(diǎn)A（a，a²），B（b，b²），線段AB必在弧AB上方．由圖象中的點(diǎn)C在點(diǎn)C′正上方，有不等式

a2+λb2

1+λ

＞（

a+λb

1+λ

）²成立．對(duì)于函數(shù)y=lnx的圖象上任意兩點(diǎn)A（a，lna），B（b，lnb），類(lèi)比上述不等式可以得到的不等式是

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：類(lèi)比推理

專(zhuān)題：探究型,推理和證明

分析：根據(jù)函數(shù)f（x）=x²（x＞0）的圖象可知，此函數(shù)的圖象是向下凹的，即可得到不等式

a2+λb2

1+λ

＞（

a+λb

1+λ

）²，再根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象的特征，即可類(lèi)比得到相應(yīng)的不等式．

解答： 解：∵函數(shù)f（x）=x²（x＞0）上任意兩點(diǎn)A（a，a²）、B（b，b²），線段AB在弧線段AB的上方，
設(shè)C分AB的比λ=

AC

CB

，則得分點(diǎn)C的坐標(biāo)公式

xC= xA+λxB 1+λ yC= yA+λyB 1+λ

，
由圖象中點(diǎn)C在點(diǎn)C'上方可得不等式

a2+λb2

1+λ

＞（

a+λb

1+λ

）²成立．
據(jù)此我們從圖象可以看出：
函數(shù)f（x）=x²（x＞0）的圖象是向下凹的，
類(lèi)比對(duì)數(shù)函數(shù)可知，對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象是向上凸的，
分析函數(shù)y=lnx（x＞0）的圖象，類(lèi)比上述不等式，可以得到的不等式是

lna+λlnb

1+λ

＜ln

a+λb

1+λ

．
故答案為：

lna+λlnb

1+λ

＜ln

a+λb

1+λ

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查類(lèi)比推理的知識(shí)點(diǎn)，解答本題的關(guān)鍵是熟練掌握對(duì)數(shù)函數(shù)圖象的凸凹性，本題比較簡(jiǎn)單．