Question

如圖，已知平行六面體ABCD—A₁B₁C₁D₁的底面為正方形，O₁、O分別為上、下底面的中心，且A₁在底面ABCD上的射影是O。

（1）求證：平面O₁DC⊥平面ABCD；

（2）若∠A₁AB＝60°，求平面BAA₁與平面CAA₁的夾角的余弦值。

Answer 1

（1）連結(jié)AC,BD,AC,則O為AC,BD的交點(diǎn)O₁為A₁C₁,B₁D₁的交點(diǎn)。

由平行六面體的性質(zhì)知：A₁O₁∥OC且A₁O₁=OC,

四邊形A₁OCO₁為平行四邊形，    ………(2分)

A₁O∥O₁C.  又∵A₁O⊥平面ABCD，

O₁C⊥平面ABCD,           ………(4分)

又∵O₁C平面O₁DC,

 平面O₁DC⊥平面ABCD。     ………(6分)

（2）由題意可知RtA₁OB≌RtA₁OA,則A₁A=A₁B，

又∠A₁AB=60⁰，故A₁AB是等邊三角形。               …………(7分)

不妨設(shè)AB=a, 則在RtA₁OA中，OA=a, AA₁=a, OA₁=a,

如圖分別以O(shè)B,OC,OA₁為x軸,y軸,z軸建立空間直角坐標(biāo)系，

則可得坐標(biāo)為A(0,-a,0), B(a,0,0), A₁(0,0,,a)      …………(8分)

=(a,a,0)，  =(-a,0,a)

設(shè)平面ABA₁的法向量為=(x,y,z)

則由·=0得x+y=0,由·=0得x-z=0

令x=1得=(1,-1,1)                                   …………(10分)

又知BD⊥平面ACC₁A₁，故可得平面CAA₁的一個(gè)法向量為=(1,0,0)

cosθ=||=

從而平面BAA₁與平面CAA₁的夾角的余弦值為。      …………(12分)