Question

【題目】已知函數(shù).

（1）求在上的單調(diào)區(qū)間；

（2）當(dāng)時(shí)，求不等式的解集；

（3）當(dāng)時(shí)，設(shè)函數(shù)，求證：不等式在定義域上恒成立.

Answer 1

【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）；（3）見(jiàn)解析

【解析】

（1）求出導(dǎo)函數(shù)，對(duì)a分類(lèi)討論，解不等式即可得到單調(diào)區(qū)間；（2）借助（1）中的單調(diào)性，數(shù)形結(jié)合解不等式即可；（3）令：，求出其最小值為零即可.

（1）=0,則

①當(dāng)即 此時(shí)

在上單調(diào)增；

②當(dāng) 即

在，此時(shí)，

在上單調(diào)減；

在，此時(shí)，

在上單調(diào)增。

③當(dāng) 即 此時(shí) 在上單調(diào)減。

綜上所述：

，在上單調(diào)增，

， 在上單調(diào)減，在上單調(diào)增

，在上單調(diào)減

（2）

此時(shí)的導(dǎo)數(shù) 在，，

在上單調(diào)減；

在，，

在上單調(diào)增。

當(dāng)時(shí)，恒成立。

當(dāng)時(shí)，，且為單調(diào)增函數(shù)，所以解集為

（畫(huà)出圖像，交代在時(shí)，即可）

（3）由題意知可令：

則有

又因?yàn)?/span>時(shí)有，時(shí)有，

即函數(shù)在

所以即有；得證