Question

已知函數(shù)f（x）=lg

1-x

1+x

，
（1）判斷函數(shù)f（x）的奇偶性；  
（2）判斷f（x）的單調(diào)性．

Answer 1

考點(diǎn)：對(duì)數(shù)函數(shù)的圖像與性質(zhì),函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明,函數(shù)奇偶性的判斷

專(zhuān)題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）可得定義域?yàn)椋?1，1），由對(duì)數(shù)的運(yùn)算可得f（-x）=-f（x），可得結(jié)論；  
（2）任取-1＜x₁＜x₂＜1，作出由對(duì)數(shù)的運(yùn)算可得f（x₁）-f（x₂）＞lg1=0，可得單調(diào)性．

解答： 解：（1）由題意可得

1-x

1+x

＞0，解得-1＜x＜1，
∴函數(shù)f（x）=lg

1-x

1+x

的定義域?yàn)椋?1，1），
又∵f（-x）+f（x）=lg

1+x

1-x

+lg

1-x

1+x

=lg1=0，
∴f（-x）=-f（x）
∴函數(shù)f（x）奇函數(shù)；  
（2）任取-1＜x₁＜x₂＜1，
∴f（x₁）-f（x₂）=lg

1+x1

1-x1

-lg

1+x2

1-x2

=lg

1+x1

1-x1

•

1-x2

1+x2

＞lg1=0
∴f（x）在（-1，1）單調(diào)遞減．

點(diǎn)評(píng)：本題考查對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性，屬基礎(chǔ)題．