Question

如圖，四邊形ABCD為菱形，ACFE為平行四邊形，且平面ACFE⊥平面ABCD，設(shè)BD與AC相交于點(diǎn)G，H為FG的中點(diǎn)．
（1）證明：BD⊥CH；
（2）若AB=BD=2，AE=

3

，CH=

3

2

，求三棱錐F-BDC的體積．

Answer 1

考點(diǎn)：棱柱、棱錐、棱臺(tái)的體積

專題：空間位置關(guān)系與距離

分析：（1）由菱形性質(zhì)得BD⊥AC，由面面垂直的性質(zhì)得BD⊥面ACFE，由此能證明BD⊥CH．
（2）由已知得∠GCF=120°，GF=3，由線面垂直得BD⊥GF，從而S_△BDF=3，由CH⊥BD，CH⊥GF，得CH⊥平面BDF，由V_F-BDC=V_C-BDF，利用等積法能求出三棱錐F-BDC的體積．

解答： （1）證明：∵四邊形ABCD為菱形，
∴BD⊥AC，…（1分）
又∵面ACFE∩面ABCD=AC，
∴BD?平面ABCD，…（2分）
∵面ABCD⊥面ACFE，…（3分）
∴BD⊥面ACFE，…（4分）
∵CH?面ACFE，…（5分）
∴BD⊥CH．…（6分）
（2）解：在△FCG中，CG=CF=

3

，CH=

3

2

，CH⊥GF，
∴∠GCF=120°，…（6分）GF=3，…（8分）
∵BD⊥面ACFE，GF?面ACFE，
∴BD⊥GF，…（9分）
S_△BDF=

1

2

BD•GF=

1

2

×2×3=3，…．（10分）
又∵CH⊥BD，CH⊥GF，∴BD∩GF=G，
∴BD，GF?平面BDF，
∴CH⊥平面BDF，…（12分）
∴V_F-BDC=V_C-BDF=

1

3

•S△BDF•CH=

1

3

×3×

3

2

=

3

2

．…（14分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查異面直線垂直的證明，考查三棱錐的體積的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意線面、面面平行與垂直的性質(zhì)的合理運(yùn)用．