Question

已知橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的離心率為

3

2

．
（1）證明：a²=4b²；
（2）若雙曲線x²-y²=1的漸近線與橢圓C有四個交點，以這四個交點為頂點的四邊形的面積為16，求橢圓C的方程．

Answer 1

考點：橢圓的簡單性質(zhì)

專題：計算題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（1）利用橢圓的離心率為

3

2

，c²=a²-b²，即可得出結(jié)論；
（2）由題意，雙曲線x²-y²=1的漸近線方程為y=±x，根據(jù)以這四個交點為頂點的四邊形的面積為16，可得（2，2）在橢圓上，利用e=

3

2

，即可求得橢圓方程．

解答： （1）證明：因為橢圓的離心率為

3

2

，所以e=

c

a

=

3

2

，…（1分）
即c2=

3

4

a2，
又因為c²=a²-b²…（2分）
所以

3

4

a2=a2-b2，…（3分）
所以b2=

1

4

a2，即a²=4b²，…（4分）
（2）解：雙曲線的漸近線為y=±x，…（5分）
代入橢圓得

x2

a2

+

x2

b2

=1．
即

x2

4b2

+

x2

b2

=

5x2

4b2

=1．…（6分）
所以x2=

4

5

b2，x=±

2

5

b，y2=

4

5

b2，y=±

2

5

b．…（7分）
則第一象限的交點坐標(biāo)為(

2

5

b，

2

5

b)．…（8分）
所以四邊形的面積為S=4×

2

5

b×

2

5

b=

16

5

b2=16．…（10分）
所以b²=5..…（11分）
所以橢圓方程為

x2

20

+

y2

5

=1．…（12分）

點評：本題考查雙曲線的性質(zhì)，考查橢圓的標(biāo)準方程與性質(zhì)，正確運用雙曲線的性質(zhì)是關(guān)鍵．