Question

已知函數(shù)f（x）=log₂（x+a）．
（1）若0＜f（1-2x）-f（x）＜

1

2

，當a=1時，求x的取值范圍；
（2）若定義在R上奇函數(shù)g（x）滿足g（x+2）=-g（x），且當0≤x≤1時，g（x）=f（x），求g（x）在[-3，-1]上的反函數(shù)h（x）；
（3）對于（2）中的g（x），若關于x的不等式g（

t-2 x

8+2 x+3

）≥1-log₂3在R上恒成立，求實數(shù)t的取值范圍．

Answer 1

考點：對數(shù)函數(shù)圖象與性質的綜合應用,函數(shù)恒成立問題

專題：函數(shù)的性質及應用

分析：（1）根據(jù)對數(shù)函數(shù)的真數(shù)部分大于0，及對數(shù)的運算性質，可將不等式化為1＜

2-2x

x+1

＜

2

，且2-2x＞0且x+1＞0，解不等式組可得x的取值范圍；
（2）函數(shù)g（x）滿足g（x+2）=-g（x），表示函數(shù)的周期為4，結合函數(shù)g（x）為奇函數(shù)，可求出x∈[-3，-1]時，函數(shù)g（x）的解析式，進而得到其反函數(shù)；
（3）利用對數(shù)函數(shù)的單調性及對數(shù)的運算性質，可將不等式轉化log₂（

2x-t

8+2x+3

-1）≥1-log₂3，由此可得實數(shù)t的取值范圍．

解答： 解：（1）原不等式可化為0＜log2(2-2x)-log2(x+1)＜

1

2

，
∴1＜

2-2x

x+1

＜

2

，且2-2x＞0，且x+1＞0，
得3-2

2

＜x＜

1

3

．
（2）∵g（x）是奇函數(shù)，∴g（0）=0，得a=1，
當x∈[-3，-1]時，-x-2∈[-1，1]，
g（x）=-g（x+2）=g（-x-2）=log₂（-x-1），
此時g（x）∈[-1，1]，x=-2^g（x）-1，
h（x）=-2^x-1（x∈[-1，1]）．
（3）∵x的不等式g（

t-2 x

8+2 x+3

）≥1-log₂3在R上恒成立，
∴l(xiāng)og₂（

2x-t

8+2x+3

-1）≥1-log₂3，
整理，得：3t=-37•2^x-40＜-77，
∴t＜-

77

3

．

點評：本題考查的知識點是對數(shù)函數(shù)的圖象和性質，函數(shù)的奇偶性，函數(shù)的周期性，函數(shù)的單調性，反函數(shù)，對數(shù)的運算性質，存在性問題，函數(shù)的最值，是函數(shù)圖象和性質較為綜合的應用，難度較大．