【題目】已知函數.
(1)討論的極值點的個數;
(2)設函數,,為曲線上任意兩個不同的點,設直線的斜率為,若恒成立,求的取值范圍.
【答案】(1)當時,極值點的個數為0;當時,的極值點的個數為1;當或時,的極值點個數為2.
(2)
【解析】
(1)函數求導得的根,對根進行討論得到函數單調區(qū)間從而求得極值.
(2)令,求出.等價轉換得,構造新函數求導轉化為不等式恒成立問題求解.
解:(1)函數的定義域為,
.
令,得或.
①當,即時,
在和上,,在上,,當時,取得極大值,當時,取得極小值,故有兩個極值點;
②當,即時,
在和上,,在上,,同上可知有兩個極值點;
③當,即時,
,在上單調遞增,無極值點;
④當,即時,
在上,,在上,,當時,取得極小值,無極大值,故只有一個極值點.
綜上,當時,極值點的個數為0;當時,的極值點的個數為1;當或時,的極值點個數為2.
(2)令,則,設,,,則.
不妨設,則由恒成立,可得恒成立.
令,則在上單調遞增,所以在上恒成立,即恒成立.
則恒成立,即恒成立.
又,所以恒成立,則,
因為,所以,
解得,即的取值范圍為.
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【題目】已知橢圓的左頂點為,左、右焦點分別為,離心率為,是橢圓上的一個動點(不與左、右頂點重合),且的周長為6,點關于原點的對稱點為,直線交于點.
(1)求橢圓方程;
(2)若直線與橢圓交于另一點,且,求點的坐標.
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【題目】已知雙曲線:的離心率,其左焦點到此雙曲線漸近線的距離為.
(1)求雙曲線的方程;
(2)若過點的直線交雙曲線于兩點,且以為直徑的圓過原點,求圓的圓心到拋物線的準線的距離.
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【題目】某工廠為提高生產效率,需引進一條新的生產線投入生產,現有兩條生產線可供選擇,生產線①:有A,B兩道獨立運行的生產工序,且兩道工序出現故障的概率依次是0.02,0.03.若兩道工序都沒有出現故障,則生產成本為15萬元;若A工序出現故障,則生產成本增加2萬元;若B工序出現故障,則生產成本增加3萬元;若A,B兩道工序都出現故障,則生產成本增加5萬元.生產線②:有a,b兩道獨立運行的生產工序,且兩道工序出現故障的概率依次是0.04,0.01.若兩道工序都沒有出現故障,則生產成本為14萬元;若a工序出現故障,則生產成本增加8萬元;若b工序出現故障,則生產成本增加5萬元;若a,b兩道工序都出現故障,則生產成本增加13萬元.
(1)若選擇生產線①,求生產成本恰好為18萬元的概率;
(2)為最大限度節(jié)約生產成本,你會給工廠建議選擇哪條生產線?請說明理由.
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【題目】設函數由方程確定,對于函數給出下列命題:
①存在,,使得成立;
②,,使得且同時成立;
③對于任意,恒成立;
④對任意,,;都有恒成立.
其中正確的命題共有( )
A.1個B.2個C.3個D.4個
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【題目】已知函數f(x)=|x﹣a|﹣|x﹣5|.
(1)當a=2時,求證:﹣3≤f(x)≤3;
(2)若關于x的不等式f(x)≤x2﹣8x+20在R恒成立,求實數a的取值范圍.
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【題目】已知圓與圓相外切,且與直線相切.
(1)記圓心的軌跡為曲線,求的方程;
(2)過點的兩條直線與曲線分別相交于點和,線段和的中點分別為.如果直線與的斜率之積等于1,求證:直線經過定點.
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